专题9.8 直线与圆锥曲线的位置关系（讲）-2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 第九章 解析几何 专题9.8 直线与圆锥曲线的位置关系 ---讲 1. 会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题. 2．了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法. 3．理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想.了解圆锥曲线的简单应用. 4. 高考预测： （1）考查直线与椭圆的位置关系； （2）考查直线与抛物线的位置关系； （3）考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题. （4）命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 5.备考重点： (1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质； （2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线位置关系题型的解法； （3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题. 知识点1．直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 【典例1】（2019·全国高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若 ，求|AB|． 【变式1】（2018·全国高考真题（理））设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 . （1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）设 为坐标原点，证明： . 知识点2．“弦”的问题 1.弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝·|y1－y2| ＝ ·|x1－x2|＝ ＝.· 2．处理中点弦问题常用的求解方法 (1)．点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． (2)．根与系数的关系： 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 【典例2】（2018·浙江学军中学高考模拟） 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上位于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为 ，点 到抛物线 的准线的距离为 . （1）求抛物线 的方程； （2）若点 的横坐标为 ，直线 与抛物线 有两个不同的交点 与圆 有两个不同的交点 ，求当 时， 的最小值. 【变式2】（2019·广东实验中学高三月考（理））已知椭圆 ： . （1）若椭圆的离心率为 ，且过右焦点垂直于长轴的弦长为 ，求椭圆 的标准方程； （2）点 为椭圆长轴上的一个动点，过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，试判断 是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因. 考点1 直线和圆锥曲线的位置关系 【典例3】（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线 和圆 ，直线 经过 的焦点 ，自上而下依次交 和 于A，B，C，D四点，则 的值为 A． B． C．1 D．2 【变式3】（2019·河南南阳中学高三开学考试（文））已知抛物线 的焦点为F，过点F作直线 交抛物线于M，N两点，则 的最小值为（ ） A. B.- C.- D. 考点2 弦长问题和中点弦问题 【典例4】（2019·全国高三月考（文））已知抛物线 的焦点为F，直线 与抛物线交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆过点F，则p=（ ） A.1 B.2 C.4 D.6 【变式4】（2019·河北高