必修4 第二章 平面向量-高中数学基础知识【口袋图书】系列备考手册

如得意不宜重往，凡做事应有余步。 （３）狔＝犪ｓｉｎ ２狓＋犫ｓｉｎ狓＋犮转化为求二次函数的最值 （配方法）； （４）ｓｉｎ狓±ｃｏｓ狓，ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓同时出现（换元型）； （５）狔＝ 犪ｓｉｎ狓＋犮 犫ｃｏｓ狓＋犱 型的函数的最值（利用三角函数的 有界性）． ８．几个常用三角不等式 （１）若狓∈（０， π ２ ），则ｓｉｎ狓＜狓＜ｔａｎ狓（狓为弧度）； （２）若狓∈（０， π ２ ），则１＜ｓｉｎ狓＜ｃｏｓ狓≤槡２； （３）｜ｓｉｎ狓｜＋｜ｃｏｓ狓｜≥１，（狓∈犚）． 　第二章　平面向量 １．数量与向量 数量 只有大小没有方向的量称为数量，例如温 度、时间、质量、面积等都是数量． 向量 既有大小又有方向的量叫做向量，例如位 移、力、速度、力矩、加速度等都是向量． ５６ 第二章　平面向量  退一步天高地阔，让三分心平气和。 （１）向量的表示 几 何 表 示 向量可用一条有向 线段来表示，在向 线段的长度表示向 量的大小，箭头所 指的方向表示向量的方向． 字母表示 向量也可用字母犪，犫，犮，…等表示，书写时 用→犪，→犫，→犮，…等表示，或用表示向量有向 线段的起点和终点字母表示，如 →犃犅． 零向量 长度（或模）为０的向量叫做零向量，记作 ０，零向量的方向是任意的． 单位向量 长度（或模）等于１个单位的向量，叫做单 位向量． （２）向量间的关系 平 行 向 量 方向相同或相反的非 零向量叫做平行向量 如图犪，犫，犮就是一组 平行向量，向量犪，犫， 犮平行记作犪∥犫∥犮． 规定：０与任何一向 量平行． 共线向量 任一组平行向量都可以移动到同一直线 上，因此，平行向量也叫做共线向量． ６６ 高中数学备考手册·必修４  敬君子方显有德，怕小人不算无能。 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． 向量犪与犫相等，记作犪＝犫． 凡零向量都相等． 向量加法 的运算律 ①交换律：犪＋犫＝犫＋犪． ②结合律：（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）． ２．平面向量的线性运算 （１）向量的加法 向量加 法的运 算法则 ①三角形法则 ②平行四边形法则 （２）向量的减法 向量减法 的定义 我们定义犪－犫＝犪＋（－犫），即减去一个 向量相当于加上这个向量的相反向量． 向量减 法的几 何意义 如图，已知向量犪、犫，在平面内任取一点 犗，作 →犗犃＝犪，→犗犅＝犫，则 →犅犃＝犪－犫，即犪－ 犫可以表示为从向量犫的终点指向向量犪 的终点的向量． ７６ 第二章　平面向量  快乐要懂得分享，才能加倍的快乐。 （３）向量的数乘 向量数乘 的定义　 我们规定实数λ与向量犪的积是一个向 量，这种运算叫上做向量的数乘，记作 λ犪，它的长度与方向规定如下： ①｜λ犪｜＝｜λ‖犪｜； ②当λ＞０时，λ犪的方向与犪的方向相同； 当λ＜０时，λ犪的方向相反．由（１）可知，当 λ＝０时，λ犪＝０． 向量数乘 的运算律 设λ、μ为实数，犪、犫为向量，则满足如下 运算律： ①λ（μ犪）＝（λμ）犪———结合律 ②（λ＋μ）犪＝λ犪＋μ犪———第一分配律 ③λ（犪＋犫）＝λ犪＋λ犫———第二分配律 向量共线 （平行）的 充要条件 ①向量犪与非零向量犫共线（平行）的充 要条件是有且只有唯一一个实数λ，使得 犪＝λ犫，即犪∥犫犪＝λ犫（犫≠０）； ②设犪（狓１，狔１），犫＝（狓２，狔２），则犪∥犫 狓１狔２－狓２狔１＝０． ３．平面向量的基本定理及坐标表示 （１）平面向量基本定理 定　理 如果犲１、犲２ 是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任意向量犪，有 且只有一对实数λ１、λ２，使犪＝λ１犲１＋λ２犲２ 我们把不共线的向量犲１、犲２ 叫做表示这 一平面内所有向量的一组基底． ８６ 高中数学备考手册·必修４  人格的完善是本，财富的确立是本。 向量的 夹角　 已知两个非零向量犪和犫，作 →犗犃＝犪，→犗犅 ＝犫，则∠犃犗犅＝θ（０°≤θ≤１８０°）叫做向量 犪与犫的夹角． （２）平面向量的正交分解及坐标表示 向量的正 交分解　 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解． 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 ①若犪＝（狓１，狔１），犫＝（狓２，狔２），λ是实数， 则犪＋犫＝（狓１＋狓２，狔１＋狔２），犪－犫＝（狓１－ 狓２，狔１－狔２），λ犪＝（λ狓１，λ狔１）； ②已知犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），则 →犃犅＝（狓２ －狓１，狔２－狔１），平面向量共线的坐标表 示：设犪＝（狓１，狔１），犫＝（狓２，狔２）（犫≠０），则 犪∥犫的