必修5 第三章 不等式-高中数学基础知识【口袋图书】系列备考手册

不要和我比懒，我懒得和你比。 　第三章　不等式 １．不等式的性质 （１）传递性：犪＞犫，犫＞犮犪＞犮； （２）同加性：犪＞犫犪＋犮＞犫＋犮； （３）叠加性：犪＞犫，犮＞犱犪＋犮＞犫＋犱； （４）可乘性：犪＞犫，犮＞０犪犮＞犫犮；犪＞犫，犮＜０犪犮＜犫犮； （５）叠乘性：犪＞犫＞０，犮＞犱＞０犪犮＞犫犱； （６）可乘方性：犪＞犫＞０犪狀＞犫狀（狀∈犖，且狀＞１）； （７）可开方性：犪＞犫＞０ 狀 槡犪＞ 狀 槡犫（狀∈犖，且狀＞１）； （８）倒数法则：犪＞犫，犪犫＞０ １ 犪 ＜ １ 犫 ． ２．常用的基本不等式 （１）犪２≥０（犪∈犚）； （２）（犪－犫）２≥０（犪，犫∈犚）； （３）犪２＋犫２≥２犪犫（犪，犫∈犚）； （４）犪＋犫≥２槡犪犫（犪，犫∈犚）； （５）犪３＋犫３＋犮３≥３犪犫犮（犪，犫，犮∈犚＋）； （６）犪＋犫＋犮≥３ ３ 槡犪犫犮（犪，犫，犮∈犚 ＋）． ２８ 高中数学备考手册·必修５  农夫三拳有点疼。 （７） 犪１＋犪２＋…＋犪狀 狀 ≥ 狀 犪１犪２…犪槡 狀（犪１，犪２，…，犪狀∈犚 ＋）； （８）（ 犪１＋犪２＋…＋犪狀 狀 ）２≤ 犪２１＋犪 ２ ２＋…＋犪 ２ 狀 狀 （犪１，犪２，…，犪狀∈犚）； （９） ２ １ 犪 ＋ １ 犫 ≤槡犪犫≤ 犪＋犫 ２ ≤ 犪２＋犫２ 槡２ ≤犫（０＜犪≤犫）； （１０）犪２＋犫２＋犮２≥犪犫＋犫犮＋犪犮； （１１） 犫 犪 ＋ 犪 犫 ≥２（犪，犫同号且犪＝犫时等号成立）； （１２） 犪＋犿 犫＋犿 ＞ 犪 犫 （犫＞犪＞０，犿＞０）． ３．一元二次不等式的解法 类　　型 解 　　　集 一元一次不等式 犪狓＞犫 犪＞０，狓｜狓＞ 犫｛ ｝犪 犪＜０，狓｜狓＜ 犫｛ ｝犪 犪＝０ 犫≥０， 犫＜０，犚 ３８ 第三章　不等式  武功再高，也怕菜刀。 一元二次不等式 犪狓２＋犫狓＋犮＞犮（犪 ≠０），其中Δ＝犫２ －４犪犮，狓１、狓２ 是方 程犪狓２＋犫狓＋犮＝０ （犪≠０）的两个根 且狓２＜狓１ 犪＞０ Δ＞０ 狓｜狓＞狓１ 或狓＜狓｛ ｝２ Δ＝０ 狓｜狓∈犚且狓≠－ 犫 ２｛ ｝犪 Δ＜０ 犚 犪＜０ Δ＞０ 狓｜狓２＜狓＜狓｛ ｝１ Δ＝０  Δ＜０  一元二次（二 次）不等式组， 其中α＜β 狓＞α 狓＞｛ β 狓｜狓＞｛ ｝β 狓＜α 狓＜｛ β 狓｜狓＜｛ ｝α 狓＞α 狓＜｛ β 狓｜α＜狓＜｛ ｝β 狓＜α 狓＞｛ β  ４．简单的高次不等式的解法 化成标准型狆（狓）＝犪（狓－狓１）（狓－狓２）…（狓－狓狀）＞ ０（或＜０），再利用穿根法写出解集． ４８ 高中数学备考手册·必修５  命运负责洗牌，但是玩牌的是我们自己！ 穿 根 法 的 步 骤 （１）分解因式； （２）确定零点； （３）在数轴上按照从小到大的顺序标根； （４）当最高次项的系数为正时，右起为正（其 中奇过偶不过）进行穿根；反之，左起为正， 进行穿根． ５．含有绝对值的不等式 （１） 狓２＜犪 ２ ｜狓｜＜犪－犪＜狓＜犪． 狓２＞犪 ２ ｜狓｜＞犪狓＜－犪或狓＞犪．（犪＞０，狓∈犚｛ ） （２）｜犪｜－｜犫｜≤｜犪±犫｜≤｜犪｜＋｜犫｜． （３）｜犪１＋犪２＋…＋犪狀｜≤｜犪１｜＋｜犪２｜＋…＋｜犪狀｜． ６．指数、对数、不等式的解法 （１）解指数、对数不等式的依据是指数、对数函数的 概念和性质，因而同底法是解指数、对数不等式的 基本方法．当然，最终是将它们转化为代数不等式， 其主要类型和解法是： ①犪犳 （狓） ＞犪φ （狓） 犳（狓）＞φ（狓）（犪＞１）；或犳（狓）＜φ（狓） （０＜犪＜１）． ②ｌｏｇ犪犳（狓）＞ｌｏｇ犪φ（狓）犳（狓）＞φ（狓）＞０（犪＞１）；或 ０＜犳（狓）＜φ（狓）（０＜犪＜１）． ５８ 第三章　不等式  不怕学问浅，就怕志气短。 （２）在解对数不等式时，要注意未知数的充许值范 围，并注意变形的等价性，即要注意底数大于零且 不等于１，真数大于零的制约因素． ７．简单分式不等式的解法 （１） 犳（狓） 犵（狓） ＞０犳（狓）·犵（狓）＞０． （２） 犳（狓） 犵（狓） ＜０犳（狓）·犵（狓）＜０． （３） 犳（狓） 犵（狓） ≥ 犳（狓）·犵（狓）≥０， 犵（狓）≠０｛ ． （４） 犳（狓） 犵（狓） ≤０ 犳（狓）·犵（狓）≤０， 犵（狓）≠０｛ ． ８．最值问题 当狓＞０时，狔＞０时； 若狓＋狔＝犛（定值），则当狓＝狔时，积狓狔取得最大 值犛 ２ ４ ；若狓狔＝狆（定值），则当狓＝狔时，和狓＋狔取得 最小值２槡狆． ６８ 高中数学