选修2-2 第一章 导数及其应用-高中数学基础知识【口袋图书】系列备考手册

不要等着船向你开来，你应向它游去。 ★选修２－２ 　第一章　导数及其应用 １．导数 定 义 犳′（狓０）＝ｌｉｍ 狓 １ →狓 ０ 犳（狓１）－犳（狓０） 狓１－狓０ ＝ｌｉｍ Δ狓→０ 犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０） Δ狓 常 用 公 式 （１）犆′＝０（犆为常数）； （２）（狓狀）′＝狀狓狀－１（狀∈犙 ）； （３）（ｓｉｎ狓）′＝ｃｏｓ狓； （４）（ｃｏｓ狓）′＝－ｓｉｎ狓； （５）（犪狓）′＝犪狓１ｎ犪（犪＞０）； （６）（犲狓）′＝犲狓； （７）（ｌｏｇ犪狓）′＝ １ 狓１ｎ犪 （犪＞０，且犪≠１）； （８）（１ｎ狓）′＝ １ 狓 ； （９）（ｔａｎ狓）′＝ １ ｃｏｓ ２ 狓 ，（ｃｏｔ狓）′＝－ １ ｓｉｎ ２ 狓 ． ４０１ 高中数学备考手册·选修２－２  没什么事不要找我，有事更不用找我。 导数运 算法则 （１）（狌±狏）′＝狌′±狏′； （２）（狌·狏）′＝狌′狏＋狌狏′； （３）（ 狌 狏 ）′＝ 狌′狏－狌狏′ 狏 ２ （狏≠０）． 复合函 数求导 狔＝犳（狌），狌＝φ（狓）． ∴狔′狓＝［犳（φ（狓））］′＝犳′（狌）φ′（狓） ２．导数的应用 函数的 单调性 在某个区间（犪，犫）内， （１）如果犳′（狓）＞０，那么函数狔＝犳（狓）在 这个区间内单调递增； （２）如果犳′（狓）＜０，那么函数狔＝犳（狓）在 这个区间内单调递减． 求可导 函数单 调区间 的一般 步骤和 方法　 （１）确定函数犳（狓）的定义区间． （２）求犳′（狓）．令犳′（狓）＝０，解此方程，求 出它在定义区间内的一切实根． （３）把函数犳（狓）的间断点［即犳（狓）的无定 义点］的横坐标和上面的各实数根按从小 到大的顺序排列起来，然后用这些点把函 数犳（狓）的定义区间分成若干个小开区间． （４）确定犳′（狓）在各个小开区间内的符号， 根据犳′（狓）的符号判定函数犳（狓）在每个 相应小开区间的增减性． ５０１ 第一章　导数及其应用  好心态才有好状态。 极 　 值 　 的 　 求 　 法 如果函数狔＝犳（狓）在区间（犪，狓０）上是增加 的（减少的），在区间（狓０，犫）上是减少的（增 加的），则狓０ 是极大（小）值点，犳（狓０）是极 大（小）值． 注意： ①函数的最大值及最小值点必在以下各点 中取得：导数为０的点、导数不存在的点以 及端点； ②函数在其定义区间上的最大值、最小值 最多各有一个，而函数的极值可能不止一 个，也可能一个都没有． 求曲线 切线方 程步骤 （１）求导数犳′（狓）； （２）求斜率犽＝犳′（狓０）； （３）写出切线方程狔－狔０＝犳′（狓０）（狓－ 狓０）． ３．定积分与微积分基本定理 几何 意义 在区间［犪，犫］上曲线与狓轴围成图形面积 的代数和． ６０１ 高中数学备考手册·选修２－２  生，容易；活，容易；生活，不容易。 基 　 本 　 性 　 质 （１）∫ 犫 犪１ｄ狓＝犫－犪； （２）∫ 犫 犪犽犳（狓）ｄ狓＝犽∫ 犫 犪犳（狓）ｄ狓； （３）∫ 犫 犪 ［犳（狓）±犵（狓）］ｄ狓＝∫ 犫 犪犳（狓）ｄ狓± ∫ 犫 犪犵（狓）ｄ狓； （４）∫ 犫 犪犳（狓）ｄ狓＝∫ 犮 犪犳（狓）ｄ狓＋∫ 犫 犮犳（狓）ｄ狓； （５）∫ 犫 犪犳（狓）ｄ狓＝－∫ 犫 犪犳（狓）ｄ狓． 偶函数 与奇函 数在对 称区间 上的积 分 （１）若犳（狓）是偶函数，且在关于原点对称 的区间［－犪，犪］上连续，则 ∫ 犪 －犪犳（狓）ｄ狓＝２∫ 犪 ０犳（狓）ｄ狓； （２）若犳（狓）是奇函数，且在关于原点对称 的区间［－犪，犪］上连续，则 ∫ 犪 －犪犳（狓）ｄ狓＝０． 牛顿— 莱布尼 茨公式 如果犳′（狓）＝犳（狓），则 ∫ 犫 犪犳（狓）ｄ狓＝犉（犫）－犳（犪）． ７０１ 第一章　导数及其应用  $$