选修2-2 第二章 推理与证明-高中数学基础知识【口袋图书】系列备考手册

就算是ｂｅｌｉｅｖｅ中间也藏了一个ｌｉｅ。 　第二章　推理与证明 １．合情推理与演绎推理 合情 推理 归纳推理和类比推理都是根据已有事实， 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、 类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统 称为合情推理． 归纳 推理 由某类事物的部分对象具有某些特征，推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理，或者由个别事实概括出一般结论的 推理，称为归纳推理，简言之，归纳推理是 由部分到整体，由个别到一般的推理． 演绎 推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下 的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简 言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．它 的特征是：当前提为真时，结论必然为真． 三段 论推 理　 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： （１）大前提———已知的一般原理； （２）小前提———所研究的特殊情况； （３）结论———根据一般原理，对特殊情况做 出的判断． ８０１ 高中数学备考手册·选修２－２  人是水货，但心是行货。 三段 论推 理　 “三段论 ”可以表示为： 大前提：犕 是犘． 小前提：犛是犕． 结论：犛是犘． ２．直接证明与间接证明 直接 证明 （１）直接证明是从命题的条件或结论出发， 根据已知的定义、定理、公理，直接推证结 论的真实性． （２）常用的直接证明方法有综合法与分析法． 综 　 合 　 法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理等，经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立，这种证明方 法叫做综合法． 用犘表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等，犙表示所要证明的结论，则综合法可 用框图表示为： 犘犙１ → 犙１犙２ → 犙２犙３ → … → 犙狀犙 ９０１ 第二章　推理与证明  爱我的请举手，不爱我的请倒立。 分 　 　 析 　 　 法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止．这种证明方法叫做 分析法． 用犙表示要证明的结论，则分析法可用框图 表示为： 犙犘１ → 犘１犘２ → 犘２犘３ → … → 得到一个明显 成立的条件 反 证 法 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推理，最 后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 反证法 证明数 学命题 的一般 步骤　 （１）分清命题的条件和结论． （２）做出与命题结论相矛盾的假设． （３）由假设出发；应用演绎推理方法，推出 矛盾的结果． （４）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所 做的假设不真，于是原结论成立，从而间接 地证明命题为真． ０１１ 高中数学备考手册·选修２－２  早起的鸟儿有虫吃，早起的虫虫被鸟吃。 反证法 中常见 的矛盾 形式　 （１）与已知条件即题设矛盾； （２）与假设即反设矛盾； （３）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得 出一个恒假命题； （４）自相矛盾． 反 证 法 的 适 用 范 围 （１）已知条件很少或由已知条件能推得的 结论很少； （２）命题的结论以否定形式出现时； （３）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出 现时； （４）命题的结论以“唯一”的形式出现时； （５）命题的结论以“无限”的形式出现时； （６）关于存在性命题； （７）某些定理的逆定理． ３．数学归纳法 数 学 归 纳 法 设｛犘狀｝是一个与自然数相关的命题集合， 如果 （１）证明起始命题犘０ 成立； （２）在假设犘犽 成立的前提下，推出犘犽＋１也 成立， 那么可以判定，｛犘狀｝对一切正整数（或自然 数）成立． １１１ 第二章　推理与证明  走自己的路，让别人打车去吧！ 数 学 归 纳 法 证 题 步 骤 （１）（归纳奠基）证明当狀取第一值狀０（狀０∈ 犖）时命题成立； （２）（归纳递推）假设狀＝犽（犽≥狀０，犽∈犖）时 命题成立，证明当狀＝犽＋１时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对 从狀０ 开始的所有正整数狀都成立． 　 　　第三章　数系的扩充与复数的引入 １．复数［犪＋犫犻（犪，犫∈犖）］的基本概念与性质 分类 实数（犫＝０）． 虚数（犫≠０）［纯虚数（犪＝０）］． 相等 两个复数相等的充要条件是它们的实部和 虚部分别相等． 即犪＋犫犻＝犮＋犱犻当且仅当犪＝犮且犫＝犱． 相加 （减） （犪＋犫犻）±（犮＋犱犻）＝（犪±犮）＋（犫±犱）犻． 相乘 （犪＋犫犻）（犮＋犱犻）＝犪犮＋犫犮犻＋犪犱犻＋犫犱犻２ ＝（犪犮－犫犱）＋（犫