专题13 抛物线解答题解法荟萃-名师揭秘2020年高考数学一轮总复习之解析几何（文理通用）

专题13 抛物线解答题解法荟萃 一．【学习目标】 1.掌握抛物线的定义； 2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握抛物线方程的求法； 4.掌握直线与抛物线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。 二．【知识点】 1．抛物线的定义 平面内与一定点F和一条定直线l的距离______的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程、图形及几何性质 见下表： 标准 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 方程 图 形 焦点 F 准线 x＝ 范围 ①　x≥0，y∈R ②　x≤0，y∈R ③　x∈R，y≥0 ④　x∈R，y≤0 对称 轴 ⑤________ ⑥_________ 顶点 O(0，0) O(0，0) 离心 率 e＝1 e＝1 开口 ⑦____ ⑧____ ⑨____ ⑩____ 3.焦半径 抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F. 的距离|PF|＝x0＋ . (2)离心率. 三．【方法总结】 1.求抛物线标准方程的实质是求p值，常用的方法是待定系数法，若开口不定时，可以设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0). 2.利用抛物线定义可知，抛物线的焦半径与焦点弦有许多特殊的性质，应用起来非常方便.如：已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点(如图)，可以证明： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p. (3). 为定值＋ (4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切. (6)∠CFD＝90°. 四．【题型方法】 （一）抛物线的轨迹方程 （二）定点问题 （三）直线与抛物线涉及的面积问题 （四）直线与抛物线中涉及的角的问题 （五）定值问题 （六）范围问题 （七）抛物线与向量的综合 （八）最值问题 五．【题型举例】 （一）抛物线的轨迹方程 例1. 已知曲线 上有一点 ，定点 ，求线段 中点 的轨迹方程。 练习1.点 ，直线 ，点 在直线 上移动， 是线段 与 轴的交点， ， . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）直线 过点 ，与轨迹 交于 两点，过点 的直线与直线 交于点 ，求证： 轴. 练习2.满足 ,设点M的轨迹是曲线C． （1）求曲线C的方程． （2）过点 且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求 （O为坐标原点）的面积 （二）定点问题 例2. 已知点A，B是抛物线 上关于轴对称的两点，点E是抛物线C的准线与x轴的交点. （1）若 是面积为4的直角三角形，求抛物线C的方程； （2）若直线BE与抛物线C交于另一点D，证明：直线AD过定点. 练习1定点 ， 是直线 ： 上一动点，过 作 的垂线与线段 的垂直平分线交于点 . 的轨迹记为 . （1）求 的方程； （2）直线 （ 为坐标原点）与 交于另一点 ，过 作 垂线与 交于 ，直线 是否过平面内一定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 练习2. 记抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， ，斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点. （1）求 的最小值； （2）若 ，直线 的斜率都存在，且 ；探究：直线 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 练习3.线E： 的准线为 ，焦点为 ， 为坐标原点。 （1）求过点 、 ，且与 相切的圆的方程； （2）过 点的直线交抛物线E于 两点，点A关于x轴的对称点为 ，且点 与点 不重合，求证：直线 EMBED Equation.DSMT4 过定点. （三）直线与抛物线涉及的面积问题 例3. 已知抛物线 的顶点为 ,准线方程为 （1）求抛物线方程； （2）过点 且斜率为 的直线与抛物线交于 两点，求 的面积。 练习1. 已知点 到点 的距离比它到直线 距离小 （Ⅰ）求点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 作互相垂直的两条直线 ，它们与（Ⅰ）中轨迹 分别交于点 及点 ，且 分别是线段 的中点，求 面积的最小值. 练习1. 已知抛物线C： ，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线 ， 交于点M （Ⅰ）求抛物线C的方程 （Ⅱ）若 ，求三角形 面积的最小值 （四）直线与抛物线中涉及的角的问题 例4. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上， ，且 . （1）求抛物线 的标准方程； （2）过点 作直线 ， 分别交抛物线 于 ， 两点，若直线 ， 的倾斜角互补，求直线 的斜率. 练习1.