专题14 解析几何解题技巧—巧施转化，柳暗花明-名师揭秘2020年高考数学一轮总复习之解析几何（文理通用）

专题14 解析几何解题技巧—巧施转化，柳暗花明 一．【学习目标】 1.掌握圆锥曲线的定义； 2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法； 4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系； 5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。 二．【知识点总结】 1.椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程 (1) ，焦点，其中． (2) ，焦点，其中 3．椭圆的几何性质以为例 (1)范围：． (2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心： (3)顶点：长轴端点：，短轴端点：；长轴长，短轴长，焦距. (4)离心率越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆． (5) 的关系：. 4．双曲线的定义： 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程 (1) ，焦点，其中． (2) ，焦点，其中 6．双曲线的几何性质以为例 (1)范围：． (2)对称性：对称轴：轴，轴；对称中心： (3)顶点：实轴端点：，虚轴端点：；实轴长，虚轴长，焦距. (4)离心率 (5) 渐近线方程. 7．抛物线的定义： 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，直线叫抛物线的准线. 8．抛物线的标准方程 (1) ．对应的焦点分别为： . (2)离心率. 三．【题型归纳】 （一）利用向量转化几何条件 （二）面积条件的转化 （三）弦长的转化 （四）角平分线的转化 四．【题型方法】 （一）利用向量转化几何条件 例1．如图，已知满足条件（其中为虚数单位）的复数在复平面上的对应点的轨迹为圆（圆心为），定直线的方程为，过斜率为的直线与直线相交于点，与圆相交于两点，是弦中点. （1）若直线经过圆心，求证：与垂直； （2）当时，求直线的方程； （3）设，试问是否为定值？若为定值，请求出的值，若不为定值，请说明理由. 练习1．已知、分别是椭圆的两焦点，点是该椭圆上一动点，则_________. 练习2．已知椭圆：的右焦点为点的坐标为，为坐标原点，是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）经过点作直线交椭圆于两点，求面积的最大值； （3）是否存在直线交椭圆于两点，使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 练习3．已知点为椭圆的两个焦点，其中左焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，为椭圆上一点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若线段中点在轴上，求的值. （二）面积条件的转化 例2.已知、是双曲线：（，）的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆：于点，设直线、、、的斜率分别为、、、. （1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程； （2）在（1）的条件下，如果，求△的面积； （3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由. 练习1．直线经过，椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称.当面积取得最大值（为坐标原点）则直线的方程为_______. 练习2．已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线交曲线于两点，求的面积. 练习3．已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、. （1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程； （2）在（1）的条件下，如果，求的面积； （3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由. （三）弦长的转化 例3．如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球开线”，曲线与轴有两个焦点，且经过点 (1)求的值； (2)设为曲线上的动点，求的最小值； (3)过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于点三点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 练习1．已知点P是曲线上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线上任意一点，则｜PH｜＋｜PQ｜的最小值为__________． 练习2．已知圆 （1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； （2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，且有（为坐标原点），求的最小值． 练习3．椭圆：，直线过点，交椭圆于、两点，且为的中点. （1）求直线的方程； （2）若，求的值. （四）角平分线的转化 例4. 已知 是椭圆 的左、右焦点，点 ，则∠ 的角平分线的斜率为 ( ) A. B. C. D. 练习1． 、 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上， ，过 作 的角平分线的垂线，垂足为 ，则 的