1.2.2 充要条件（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

1．2.2　充要条件 1．理解充要条件． 2．会判断、证明充要条件． 3．理解“当且仅当”的含义． 1．充分条件，充分不必要条件 若p⇒q，则p是q的　充分　条件； 若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的　充分不必要　条件． 2．必要条件，必要不充分条件 若p⇒q，则q是p的　必要条件　； 若p⇒q，且q⇒/ p，则q是p的　必要不充分　条件． 1．充要条件的概念 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称　充要条件　.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的　充要条件　，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 2．一般地，如果p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的　既不充分也不必要　条件，q是p的　既不充分也不必要　条件． [要点一]　充要条件的判断 [例1] 在下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：a>b，q：a2>b2； (2)p：两直线平行，q：内错角相等； (3)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α； (4)函数f(x)＝logax(a>1)，p：f(x1)>f(x2)，q：x1>x2>0. [思路点拨]　按充要条件的定义判断． [解析]　在(1)中，p⇒/ q，q⇒/ p，所以(1)中的p不是q的充要条件． 在(2)(3)(4)中，p⇔q，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件． 　充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1．定义法(适用于较简单的命题) 若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的充分而不必要条件； 若q⇒p，但p⇒/ q，则p是q的必要而不充分条件； 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； 若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．集合法(适用于需对命题的条件或结论化简的命题) 首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}； q：B＝{x|q(x)}． 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若B⊆A，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充分而不必要条件； 若BA，则p是q的必要而不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⃘B，B⃘A，则A是B的既不充分也不必要条件． 3．传递性法(适用于多个条件之间的关系推断) 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的相互关系． 4．等价命题法(适用于不易直接判断的命题) 当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来解决，即等价转化为判断其逆否命题． [变式训练] 1．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是(　　) ①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件； ②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件； ③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件； ④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件． A．①④　　　　　　 B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 解析：D　[Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c有零点，故①正确．Δ＝b2－4ac＝0，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能Δ>0，故②正确．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．] [要点二]　充要条件的证明 [例2] 证明：函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1. [思路点拨]　解答本题可先证明充分性，再证必要性． [证明]　先证充分性： 若a＝1，则函数化为f(x)＝. ∵f(－x)＝＝＝ ＝－＝－f(x)， ∴函数f(x)是奇函数． 再证必要性： 若函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)． ∴＝－， ∴＝－，[来源:学科网ZXXK] ∴a＋(a－2)·2x＝－a·2x－a＋2， ∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1. 综上所述，函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1. [名师点睛] 1．首先分清条件和结论．本例中条件是“a＝1”，结论是“f(x)是奇函数”； 2．分两步证明，既要证明充分性，又要证明必要性，即要证：条件⇒结论；结论⇒条件(证明先后顺序不作要求)． 3．证明充分性时，把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，把结论当已知去推证