2.1.1 曲线与方程（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

2．1　曲线与方程 2．1.1　曲线与方程 1．结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．体会数形结合的基本思想． 直线(或圆)上的点的坐标与其方程的实数解的对应关系 1．直线(或圆)上任一点的坐标都适合其方程； 2．以方程的实数解为坐标的点都在直线(或圆)上． 1．曲线的方程与方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的　解　(纯粹性)； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的　点　(完备性)． 那么，这个方程叫作　曲线的方程　，这条曲线叫作　方程的曲线　. 2．点在曲线上的充要条件 如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在曲线上的充要条件是　f(x0，y0)＝0　. [要点一]　曲线上的点与其方程的实数解的对应关系 [例1] 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么(　　) A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点，有些不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D．坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上 [思路点拨]　(1)曲线C上的点P(x，y)组成的点集与其方程F(x，y)＝0的实数解组成的集合是一一对应的关系． (2)P0(x0，y0)在C上的充要条件是P0的坐标适合其方程． (3)注意转化为等价命题进行判定． [解析]　D　[由“曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程的解”为真可知，其逆否命题为真，即不满足方程F(x，y)＝0的解为坐标的点一定不在曲线C上．] [名师点睛] 1．此类问题应注意运用四种命题之间的关系或利用命题与非命题之间的关系进行判断． 2．正确理解纯粹性和完备性是正确推断的前提，也是解决曲线与方程关系问题的基础． [变式训练] 1．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题正确的是(　　) A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 B．曲线C上的点的坐标不满足方程f(x，y)＝0 C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上 D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0 解析：D　[由于命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是假命题，所以其否定即其非命题为真命题，而原命题是一个省略了全称量词的全称命题，故其否定为存在坐标满足方程f(x，y)＝0的点不在曲线C上．] [要点二]　曲线与方程的概念 [例2] 分析下列曲线上的点与方程的关系： (1)求第一、三象限两轴夹角平分线l上点的坐标满足的关系；[来源:学.科.网Z.X.X.K] (2)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系． [思路点拨]　解答本题先要明确轨迹和其对应的轨迹方程，再根据两者的关系进行分析． [解析]　(1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即y＝x.可以看到： ①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解； ②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．[来源:学科网] (2)如图所示直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而，坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上． 因此，|x|＝2不是l的方程． [名师点睛] 1．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上． 2．判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线． [变式训练] 2．(1)过点P(0,1)且平行于x轴的直线l的方程是|y|＝1吗？为什么？ (2)设A(1,0)，B(0,1)，能否说线段AB的方程是x＋y－1＝0？为什么？ 解析：(1)过点P(0,1)且平行于x轴的直线如图所示，其方程为y＝1， 而方程|y|＝1即y＝1或y＝－1.它不仅表示直线y＝1还表示直线y＝－1，显然直线y＝－1上的任一点都不在直线y＝1上．因此|y|＝1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|＝1所表示曲线的一部分． (2)由方程x＋y－1＝0知，当x＝2时，y＝－1.故点(2，－1)的坐标是方程x＋y－1＝0的一个解，但点(2，－1)不在线段AB上． ∴方程不是线段的方程． [要点三]　曲线方程的应用 [例3] 曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点．求k的取值范围，若有一个交点呢？无交点呢？ [思路点拨]　转化为对两方程联立的方程组后进行讨论．