2.1.2 求曲线的方程（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

2.1.2　求曲线的方程 1．掌握直接法(直译法)求曲线(或图形)方程的方法和步骤． 2．熟悉求曲线方程的常用方法． 3．理解坐标法，体会坐标法的思想，了解平面解析几何研究的主要问题． 曲线的方程与方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： 1．曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； 2．以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在　曲线C上　，那么，把　方程f(x，y)＝0　叫作曲线C的方程，而把　曲线C　叫作方程f(x，y)＝0的曲线． 1．坐标法与解析几何 (1)借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足 　的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫　坐标法　. (2)用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫作　解析几何　. 2．解析几何研究的主要问题[来源:Z#xx#k.Com] (1)根据已知条件，求出表示　曲线的方程　； (2)通过曲线的方程，研究曲线的　性质　. 3．求曲线的方程的步骤 [要点一]　直接法(即直译法)求曲线的方程 [例1] 已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． [思路点拨]　用直接法可求动点M的轨迹方程，并通过讨论λ的取值范围来确定轨迹方程表示的曲线． [解析]　 如图，设MN切圆于点N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，常数λ>0. ∵圆的半径|ON|＝1， ∴|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝ |MO|2－1. 设点M的坐标为(x，y)， 则＝λ. 整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0. 经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程．[来源:Z§xx§k.Com] 当λ＝1时，方程化为x＝，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；当λ≠1时，方程化为2＋y2＝，它表示圆，该圆圆心的坐标为，半径为. 1．无论用什么方法求曲线的方程，若原题条件中没有坐标系，应首先考虑建立恰当的坐标系．建立坐标系要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建立坐标系，借助图形的对称性建立坐标系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．恰当的建立坐标系，能减少运算量，若建立坐标系不恰当，计算量会大大增加，甚至有时很可能得不出正确的结论． 2．直接法：建立适当的坐标系后，设动点坐标为(x，y)，根据几何条件寻求x、y之间的关系式． 3．直接法中的第二个步骤：若满足条件的点集不方便用集合表达时，也可省略． 4．直接法中的第五个步骤，我们常予以省略但应充分注意是否等价运用了条件化简，变形是否等价，对于满足方程但不在曲线上的点应挖去，不在曲线上的部分常通过对x或y加以限制而去掉，从而保证完备性成立． [变式训练] 1．在直角△ABC中，斜边是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程． 解析：法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴(如图)．则有 A(－a,0)，B(a,0)． 设动点C为(x，y)， ∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， ∴[]2＋[]2＝4a2， 即x2＋y2＝a2. 由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点， 故所求方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． 法二：如法一建立直角坐标系，设A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y) ∵kAC·kBC＝－1，① ∴·＝－1，② 化简得：x2＋y2＝a2，③ 由于在x≠±a时方程②与③不等价，故所求轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． [要点二]　代入法(即相关点法)求曲线的方程 [例2] 已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2－3上运动，求△ABC重心的轨迹方程． [思路点拨]　由重心坐标公式，可知△ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来．而A、B是定点，且C在曲线y＝x2－3上运动，故重心与C相关联．因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y＝x2－3再化简，但应注意去掉所求方程中A、B、C共线对应的点． [解析]　设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式， 得∴ ∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2－3上， ∴3y＝(3x－6)2－3， 整理，得y＝3(x－2)2－1. 当C与A