2.2.2.1 椭圆的简单几何性质（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

2．2.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 [来源:学#科#网] 1．掌握椭圆的简单几何性质． 2．理解离心率对椭圆扁平程度的影响． 1．椭圆的标准方程[来源:Z§xx§k.Com] (1)椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点坐标为　F1(－c,0)　、　F2(c,0)　，其中c＝ . (2)焦点在y上的椭圆的标准方程为　＋＝1(a>b>0)　，焦点坐标为F1　(0，－c)　，F2　(0，c)　，其中c＝ . 2．求椭圆方程的方法 (1)当能判定轨迹为椭圆时常用　待定系数　法； (2)当不能预先判定轨迹时常用　直接法　、　代入法　. 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)、A2(a,0) ， B1(0，－b)、B2(0，b) A1(0，－a)、A2(0，a) ， B1(－b,0)、B2(b,0)[来源:学,科,网] 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0,0) 离心率[来源:Z§xx§k.Com] e＝ (0<e<1) 2.当椭圆的离心率越接近于　1　，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近于　0　，则椭圆越接近于圆． [要点一]　由椭圆方程求椭圆的几何性质 [例1] 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [思路点拨]　→→→ [解析]　将椭圆方程变形为＋＝1， ∴a＝3，b＝2，∴c＝ ＝＝. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2；焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)；顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)；离心率e＝＝. 1．先化成标准方程，然后分清焦点在x轴还是在y轴上，对应求解． 2．由a2＝b2＋c2可知，焦点与短轴顶点的连线长度等于长半轴a，a、b、c、e由椭圆本身确定，与坐标系无关，叫作几何不变量；而点(如焦点、顶点)的坐标和椭圆的方程因坐标系的不同而发生变化． [变式训练] 1．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长，焦点坐标及顶点坐标． 解析：已知椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，由于e＝＝，所以m＝3，即b＝，c＝1.则椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．②当m＞4时，a＝，b＝2，所以c＝. 由于e＝＝，所以m＝，则a＝，c＝. 所以椭圆的长轴的长和短轴的长分别是，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． [要点二]　由椭圆的几何性质求标准方程 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过(3,0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. [思路点拨]　均为待定系数法求解，对(1)要分类讨论． [解析]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝＝， ∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝＝＝＝， 解得a2＝27. ∴椭圆的方程为＋＝1. ∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为＋＝1. [名师点睛] 利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤一般是首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数． [变式训练] 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； (2)焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝； (3)焦点在y轴上，a2＋b2＝5，且过点(－，0)． 解析：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵2a＝10，c＝4， ∴b2＝a2－c2＝9，所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6，① 又由a∶b＝2∶1，∴a＝2b，代入①得4b2－b2＝6， ∴b2＝2，∴a2＝8，又∵焦点在x轴上， 所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，∴＝1， ∴b2＝2，又∵a2＋b2＝5，∴a2