2.2.2.2 直线与椭圆的位置关系（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

第2课时　直线与椭圆的位置关系 1．进一步巩固椭圆的简单几何性质． 2．掌握直线与椭圆位置关系的相关知识． 1．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系： (1)点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2　＝　r2； (2)点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2　<　r2； (3)点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2　>　r2. 2．直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：通过比较　圆心到直线的距离　与　圆的半径　的大小进行判定． (2)代数法：通过直线与圆的方程组成的方程组，消元所得的一元二次方程，利用　判别式　可判定． 3．求圆的弦长 一般利用弦心距三角形较为方便，也可利用弦长公式，但较麻烦． 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： (1)点P在椭圆上⇔＋　＝　1； (2)点P在椭圆内部⇔＋　<　1； (3)点P在椭圆外部⇔＋　>　1. 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立，消y得一个一元二次方程(b2＋a2k2)x2＋2kma2＋a2m2－a2b2＝0. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 　两个　解 Δ　>　0 相切 　一个　解 Δ　＝　0 相离 　无　解 Δ　<　0 3.弦长公式 设直线方程为y＝kx＋m，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|. 4．椭圆上的点与焦点的距离 椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点P到焦点F(±c,0)的距离的范围为a－c≤|PF|≤a＋c(其中a2－b2＝c2)． [学生用书P29] [要点一]　直线与椭圆的位置关系 [例1] 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1(m＞0)总有公共点，求m的取值范围． [解析]　法一：由消去y， 得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0， ∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)． ∵直线与椭圆总有公共点， ∴Δ≥0对任意k∈R都成立． ∵m>0，∴5k2≥1－m恒成立，∴1－m≤0，即m≥1. 又椭圆的焦点在x轴上，∴0<m<5，∴1≤m<5. 法二：∵直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，由此得解得1≤m<5. [名师点睛] 有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解． [变式训练] 1．(1)直线l：y＝x＋2与椭圆2x2＋3y2＝6公共点的个数为　________　. (2)对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系． (1)解析：根据题意得，消去y，得2x2＋32＝6；整理得5x2＋4x＋12＝0，∵Δ＝(4)2－4×5×12＝－144＜0，∴方程组无解，即直线与椭圆无交点． 答案：0 (2)解析：联立直线与椭圆方程，消去y整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0，令Δ＝64m2－20(4m2－4)＝16(5－m2)≥0，计算得出：－≤m≤，∴当m∈(－∞，－)∪(，＋∞)时直线与椭圆不相交，当m∈(－，)时直线与椭圆相交当m＝－或m＝时，直线与椭圆相切． [要点二]　中点弦问题 [例2] 已知椭圆＋ ＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程． [思路点拨]　由于弦所在直线过定点P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率． [解析]　法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，[来源:Z.xx.k.Com] 代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0　(*)， 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根， ∴x1＋x2＝. ∵P为弦AB的中点， ∴2＝＝， 解得k＝－， ∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P为弦AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又∵A、B在椭圆上， ∴x＋4y＝16，x＋4y＝16. 两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝＝－， 即kAB＝－. ∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)， 即x＋2y－