2.3.1 双曲线及其标准方程（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

2．3　双曲线 2．3.1　双曲线及其标准方程 1．理解双曲线的意义． 2．了解双曲线标准方程的推导过程，掌握双曲线的标准方程． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题． 1．反比例函数y＝的图象[来源:Zxxk.Com] 反比例函数的图象是无限靠近坐标轴，但不与坐标轴相交的双曲线．当k>0时，位于第一、三象限；当k<0时，位于第二、四象限． 2．椭圆的定义及标准方程 (1)椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆． (2)椭圆的标准方程：＋＝1或＋＝1，其中a>b>0，且a2＝b2＋c2. 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的　差的绝对值　等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这　两个定点　叫作双曲线的焦点，　两焦点间的距离　叫作双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c 的关系 c2＝ a2＋b2 [要点一]　待定系数法求双曲线的标准方程 [例1] 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过P1和P2两点； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． [思路点拨]　由于(1)中无法确定双曲线焦点的位置，可设－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或＋＝1(mn<0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为－＝1(a>0，b>0)或－＝1(0<λ<6)． [解析]　(1)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵P1、P2在双曲线上， ∴ 解得(不合题意舍去)． 当双曲线的焦点在y轴上时， 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵P1、P2在双曲线上，∴ 解得即[来源:Zxxk.Com] ∴所求双曲线方程为－＝1. 法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵P1、P2在双曲线上， 所以有解得. ∴所求双曲线方程为－＋＝1，即－＝1. (2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 依题设有解得 ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 法二：∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴－＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1. [名师点睛] 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，也要根据“先定位，再定量”的思路求解．即先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论且运算简单，但注意与椭圆过两点时对应设法不同． [变式训练] 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)； (2)经过两点P(－3,2)，Q(－6，－7)． 解析：(1)法一：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意易求c＝2.又双曲线过点(3，2)， ∴－＝1. 又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为－＝1. 法二：设双曲线方程为－＝1(0＜k＜16)，[来源:学|科|网Z|X|X|K] 将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为－＝1. (2)设双曲线方程为＋＝1(A，B异号且不为0)． 将点P(－3,2)，Q(－6，－7)的坐标分别代入，得 解得 因此双曲线的标准方程为－＝1. [要点二]　双曲线定义的应用 [例2] (1)点P是双曲线－y2＝1右支上一个动点，F是双曲线的右焦点，已知点A的坐标是(3,1)，求|PA|＋|PF|的最小值； (2)若F1，F2是双曲线－＝1的左、右两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积； (3)已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． [思路点拨]　(1)利用双曲线定义转化为到另一个焦点的距离之和问题； (2)在焦点三角形中，运用余弦定理结合定义解决； (3)把相切条件转化，符合双曲线定义． [解析]　(1)设双曲线的左焦点为F′， 而P在双曲线的右支上， 由定义知|PF|＝|PF′|－2a， ∴|PA|＋|PF|