2.4.2.1 抛物线的简单几何性质（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

2.4.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．会运用抛物线的性质解决与抛物线相关的问题． 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离　相等　的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的　焦点　，直线l叫作抛物线的　准线　. 2．抛物线的四种标准方程 　y2＝2px(p>0)　；　y2＝－2px(p>0)　；　x2＝2py(p>0)　； 　x2＝－2py(p>0)　. 　抛物线的几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性 质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 性 质 对称轴 x轴 y轴 顶点 原点(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 [要点一]　抛物线几何性质的应用 [例1] 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程． [思路点拨]　抛物线与圆相交，根据已知可设抛物线方程y2＝ax(a≠0)，由圆和抛物线的对称性，可判断A与B关于x轴对称，结合|AB|＝2可得A，B的坐标，从而求出方程． [解析]　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．[来源:学科网ZXXK] 故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2， ∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4得x2＋3＝4，解得x＝±1. ∴A(±1，)，或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，∴a＝±3. ∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x. 根据抛物线的性质求抛物线方程 1．判断抛物线的对称轴； 2．确定焦点所在坐标轴，并进一步明确是正半轴还是负半轴．若不能明确正、负半轴，则需分类讨论； 3．据上述分析，设抛物线标准方程； 4．用待定系数法求参数，得方程．[来源:学科网] [变式训练] 1．已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个正三角形的边长． 解析：如图所示，正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，设其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y＝2px1，y＝2px2. 又因为|OA|＝|OB|， 所以x＋y＝x＋y， 即x－x＋2px1－2px2＝0. 所以(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1＞0，x2＞0,2p＞0， 所以x1＋x2＋2p≠0. 所以x1＝x2. 即A，B两点关于x轴对称， 则∠AOx＝30°，所以AB⊥x轴， 所以y1＝x1tan 30°＝x1. 又因为x1＝， 所以y1＝2p. 所以|AB|＝2y1＝4p， 即所求边长为4p. [要点二]　抛物线中过焦点的弦的弦长问题 [例2] 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离． [思路点拨]　由于|AB|＝|AF|＋|BF|，利用抛物线定义把到焦点的距离转化为到准线的距离． [解析]　抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝. [名师点睛] 抛物线的焦点弦：所谓焦点弦就是过焦点的弦．焦点弦问题除能运用一般弦长公式外，还可以利用定义进行转化，因此抛物线的焦点弦长有以下更简单的计算方法．其中A(x1，y1)，B(x2，y2)． 1．若AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则有|AB|＝x1＋x2＋p；|AB|＝(θ是直线AB的倾斜角)； 2．若AB过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，则有|AB|＝y1＋y2＋p；|AB|＝(θ是直线AB的倾斜角)．在抛物线中，公式|AB|＝x1＋x2＋p和|AB|＝只适用于焦点弦，当θ＝时，|AB|叫作抛物线的通径，显然通径是最短的焦点弦，特别地|AB|＝2(焦点弦与中点的关系)． 3．若AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，可以证明： (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2