2.4.2.2 抛物线方程及几何性质的应用（课件+练习）-2019-2020学年高中数学选修2-1【创新教程】微点特训（人教A版）

第2课时　抛物线方程及几何性质的应用 1．掌握直线与抛物线位置关系的判断． 2．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识． 3．掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题． 1．焦半径与焦点弦 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫作　焦半径　，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为： 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 焦半径|PF| |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 焦点弦|AB| |AB|＝x1＋x2＋p |AB|＝p－x1－x2 |AB|＝y1＋y2＋p |AB|＝p－y1－y2 2.一般弦长公式 抛物线的弦长公式与椭圆、双曲线的一样，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝ 　·|x1－x2|　或|AB|＝＝　·|y1－y2|(k≠0)　.若弦AB所在直线的斜率k为零或不存在时，则AB分别为　|x1－x2|　或　|y1－y2|　. 1．直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0. (1)若a≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线相交，有　两个　交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有　一个　交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，　无公共　点． (2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的　必要不充分　条件． 2．从几何性质上看，抛物线与双曲线的主要区别 (1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线．它没有对称中心． (2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平． (3)椭圆及双曲线的形状由其离心率的大小确定，而抛物线的形状和大小由焦准距(焦点到准线的距离p>0)确定.[来源:学|科|网] [要点一]　直线与抛物线的位置关系 [例1] 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． [思路点拨]　先按直线的斜率是否存在讨论，这是一般分类讨论．对于斜率存在的情况，由直线与抛物线联立，消去y后所得关于x的方程，再讨论二次项系数是否为零，这是二级分类讨论． [解析]　(1)若直线斜率不存在，则过P(0,1)的直线方程为x＝0.直线x＝0与抛物线只有一个公共点． (2)若直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1.由方程组消元得：k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.①当k＝0时，得即直线y＝1与抛物线只有一个公共点．②当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0.∴k＝，∴直线方程为：y＝x＋1.综上所述：所求直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1. [名师点睛] 1．此类问题，一定要关注点P与抛物线的位置关系，这是关键的一环． 2．本例体现了分类讨论的思想，要清楚引起讨论的因素，明确分类的标准． 3．从本例可以看出，直线与抛物线只有一个公共点，这个点可能是交点也可能是切点，与直线与双曲线情况类似，它们与直线与椭圆的情况不同． [变式训练] 1．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点． 解析：将直线方程和C的方程联立得 消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.　(*) 当k＝0时，上述方程只有一个解x＝，此时y＝1. ∴直线l与C只有一个公共交点，此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程： (1)当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时称直线l与C相交． (2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时称直线l与C相切． (3)当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时称直线l与C相离． 综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；当k＞1时，直线l与C没有公共点． [要点二]　中点弦及弦长问题 [例2] (1)过点Q(4,1)的抛物线y2＝8x的弦AB恰被点Q平分，求AB所在直线方程； (2)设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A、B两点，已知弦AB长为3，求b的值． [思路点拨]　(1)点Q是弦中点，弦端点是