专题07 直线与椭圆的解题方法-名师揭秘2020年高考数学一轮总复习之解析几何（文理通用）

专题07 直线与椭圆的解题方法 一．【学习目标】 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程 (1) ______________ (a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝_____________． (2)＝1(a>b>0)，焦点___________________，其中c＝_____________． ＋ 3．椭圆的几何性质以＝1(a>b>0)为例 ＋ (1)范围：________________． (2)对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：O(0，0)． (3)顶点：长轴端点：A1(－a，0)，A2(a，0)，短轴端点：B1(0，－b)，B2(0，b)；长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，焦距|F1F2|＝2c. (4)离心率e＝_______，0<e<1，e越大，椭圆越______，e越_______，椭圆越圆． (5)a，b，c的关系：c2＝a2－b2或a2＝c2＋b2. 三．【方法总结】 （一）直线与椭圆关系求离心率 （二）对称问题 （三）椭圆与圆 （四）直线与椭圆的中点弦问题 （五）定点问题 （六）定值问题 （七）范围问题 （八）探索性问题 四．【题型归纳】 （一）直线与椭圆关系求离心率 例1.在平面直角坐标系 中，已知点 分别为椭圆 的右顶点和右焦点，过坐标原点 的直线交椭圆 于 两点，线段 的中点为 ，若 三点共线，则椭圆 的离心率为( ) A． B． C． D． 或 练习1.已知 , 为椭圆 的左右焦点，过原点 且倾斜角为30°的直线 与椭圆 的一个交点为 ，若 , ，则椭圆 的方程为 A. B. C. D. 练习2.已知F1，F2为椭圆C： 的两个焦点，过点F1作x轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点．当△F2PQ为等腰直角三角形时，椭圆C的离心率为e1，当△F2PQ为等边三角形时，椭圆C的离心率为e2，则e1，e2的大小关系为e1______e2（用“＞”，“＜”或“=”连接） （二）对称问题 例2. ．在平面直角坐标系 中，点 为椭圆 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 的下顶点， ， 在椭圆上，若四边形 为平行四边形， 为直线 的倾斜角，若 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 练习1. 设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若在直线 （其中 ）上存在点 ，使线段 的垂直平分线经过点 ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 练习2. 设椭圆C： 的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且 ， 椭圆C的离心率为___. （三）椭圆与圆 例3.如图， ， 分别是椭圆 的左、右顶点，圆 的半径为2，过点 作圆 的切线，切点为 ，在 轴的上方交椭圆于点 ，则 _______． 练习1.祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为 ，半圆与 轴正半轴交于点 ，作直线 ， 交于点 ，连接 （ 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕 轴旋转所得半球的体积与 绕 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆 绕 轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 练习2.已知 是椭圆 的对称中心， ， 是 的焦点，以 为圆心， 为半径的圆与 的一个交点为 .若 与 的长度之比为 ，则 的离心率等于______. 练习2.设p是椭圆 上一点，M，N分别是两圆： 和 上的点，则 的取值范围为______ （四）直线与椭圆的中点弦问题 例4.已知椭圆T： 的离心率为 ，右焦点为 ,三角形 的三个顶点都在椭圆 上，设它的三条边 的中点分别为 ，且三条边所在直线的斜率分别 、 、 ，且 、 、 均不为 。 为坐标原点，若直线 的斜率之和为1，则 ______ （五）定点问题 例5.．设 为坐标原点，椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，直线 与 交于 ， 两点． （1）求椭圆 的方程； （2）设点 ， ，求证：直线 过定点，并求出定点的坐标． 练习1. 已知椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切，过点 且不垂直于 轴直线 与椭圆 相交于 、