江西省2019年基础教育优秀教学课例（赣教杯）：利用函数性质判定方程解的存在（ 许丽美 ） (enbx格式)

利用函数性质判定方程解的存在 教学设计 江西省瑞金第一中学 许丽美 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 本节内容是《普通高中课程标准数学教科书》（北师大版）数学（必修1）第四章第一节《函数与方程》的第一课时. 这节课是在学生学习了函数的图像、性质基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系.这里集中研究的是从函数特征判定方程实数解的存在，它是下一步学习利用“二分法”求方程近似解的依据和基础. （二）教材内容分析 本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在的判定.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将函数与方程有机的联系在一起.本节是函数应用的第一课，因此教学时应站在函数应用的高度，从函数与方程的关系的角度来引入较为适宜. 二、学情分析 由于学生在第二章已经学习了函数的有关概念、性质及图像，有一定的知识基础.同时，学生也具备了一些函数应用的意识，但应用意识还是相对薄弱，创造力不强，所以在授课时注重从学生已有的认知水平出发，注重引导、启发和探究以符合学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 三、教学目标 (一)知识与技能 1.了解函数零点的概念； 2.正确认识函数与方程的关系，求方程 的实数解就是求函数 的零点，体会函数知识的核心作用； 3.掌握零点存在性定理，能利用定理判定方程解的存在. (二)过程与方法 通过观察一个实际案例，探究函数存在零点的判定方法.培养学生自主发现、探究实践的能力，并渗透函数与方程、转化与化归、数学建模等数学思想，培养学生用函数的观点思考、分析问题的习惯. （三）情感态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的数形结合思想和转化思想的意义与价值，体会函数知识的核心作用，体验数学内在美，激发学习热情，培养学生创新意识. 四、教学重难点 重点：（1）理解方程的根与函数的零点的关系，体会函数与方程思想；（2）掌握零点存在性定理, 能利用定理判定方程解的存在. 难点：引导学生探究函数的零点存在性定理. 五、教学策略 本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，同时结合多媒体辅助教学. 六、教学过程 分为以下六个环节： （一）提出问题 方程 有实数解吗？ 方程 有实数解吗？ 设计意图：对于第一个问题大家都习惯性地用判别式进行判断，也可通过相应函数 的图像来判断，第二个方程可否也借助函数来判断？目的引入方程的根与函数的关系，可借助函数来判定方程的解，引出课题---利用函数性质来判断方程解的存在. （二）引入概念 由一元二次方程 的实根与二次函数 的图像之间的关系，发现二次函数的图像与横轴的交点的横坐标就是相应二次方程的根.引入函数零点的概念：我们把函数 的图像与横轴的交点的横坐标叫做函数 的零点. 问题1：函数的零点是一个点吗？强调零点不是点而是实数. 问题2：函数 的零点与方程 的实根有何关系？结合函数零点的定义和刚才的探究过程，容易得知函数 的零点实际上就是方程 的实根.即函数 的零点 函数的图像与 轴的交点 方程 的实根.这个等价关系告诉了我们函数问题与方程问题可以进行转化. 这样就为我们提供了一个利用函数性质确定方程解的的途径.函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数. 设计意图：通过一个具体的二次函数引出函数零点的概念，体现从特殊到一般的认知规律，再结合二次函数的零点与一元二次方程的解之间的关系，得到函数 的零点与方程 的实数解之间的等价关系.让学生体会函数与方程、转化与化归的数学思想. （三）合作探究 如何判定函数 在区间 内存在零点？ 首先通过一段小视频《海豚表演》，从视频中截取两幅图，判断图中海豚是否穿过了海平面.从数学角度分析：把海平面抽象成 轴，海豚看作一个点，那么海豚的运动轨迹就对应一条曲线，不妨设曲线对应的函数为 .当海豚穿过海平面时，对应曲线就与 轴有交点，也就是函数 在此区间有零点.那么函数在怎样的区间才有零点？请学生结合学案探究1中的问题（见附表）自主探索，然后小组讨论. 探究1.函数 在区间 上，当 满足什么条件时，函数 在区间 内有零点？预期讨论结果：当 时，函数 在区间 内有零点. 探究2.是否只要 ，函数 在区间 内就一定有零点吗？预期讨论结果：不一定，可以举例来说明，如反比例函数或分段函数，发现还应具备：函数 在区间 内的图像是连续