专题03 勾股定理中的翻折和旋转问题-2019-2020学年八年级数学上册同步考点归类培优题库（北师大版）

专题三 勾股定理中的翻折和旋转问题 考点一 翻折问题 【方法点拨】根据翻折前后两图形全等，借助勾股定理构造方程求线段的长。 1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 2．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD的长BC与宽AB的关系是（　　） A．BC＝2AB B．BCAB C．BC＝1.5AB D．BCAB 3．长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的点F处，则AE的长为　 　． 4．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是　 　． 5．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为　 　． 6．如图，D在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为　 　． 7．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上． （1）若∠1＝50°，求∠2、∠3的度数； （2）若AD＝8，AB＝4，求BF． 8．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E在线段AB上．点F在线段AD上 （1）沿EF折叠，使A落在CD边上的G处（如图），若DG＝3，求AF的长；求AE的长； （2）若按EF折叠后，点A落在矩形ABCD的CD边上，请直接写出AF的范围． 9．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将它沿着对角线对折，使B折到M，求： （1）线段CE的长度； （2）求点E到直线AC的距离． 10．在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，将BG延长交直线DC于点F． （1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图①所示． Ⅰ）求证：GF＝DF； Ⅱ）若DFDC，AD＝4，求AB的长度． （2）如果点G在长方形ABCD的外部，如图②所示，DF＝kDC（k＞1）．请用含k的代数式表示的值 ． 考点二 旋转问题 【方法点拨】根据旋转前后两图形全等，借助勾股定理构造方程求线段的长。 1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连结CD，将CD绕C点逆时针旋转90°至CE，连结DE，过C作CF⊥DE交AB于F，连结BE． （1）求证：AD＝BE； （2）求证：AD2+BF2＝DF2； （3）若∠ACD＝15°，CD1，求BF． 2．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． （1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长； （2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN＝45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试． 请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程； （3）在（2）的问题中，若∠ACM＝15°，AM＝1，CM1．求BM的长．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．） 第1页（共4页） $$ 专题三 勾股定理中的翻折和旋转问题 考点一 翻折问题 【方法点拨】根据翻折前后两图形全等，借助勾股定理构造方程求线段的长。 1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【思路点拨】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在RT△DEB中利用勾股定理解决． 【解析】解：在RT△ABC中，∵AC＝6，BC＝8， ∴AB10， △ADE是由△ACD翻折， ∴AC＝AE＝6，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4， 设CD＝DE＝x， 在RT△DEB中，∵DE2+EB2＝DB2， ∴x2+42＝（8﹣x）2 ∴x＝3， ∴CD＝3． 故