第24章 圆（单元总结）-2019-2020学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第二十四章 圆 单元总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 圆的有关性质 圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 确定圆的条件： 1 圆心； 2 半径， 3 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 补充知识： 1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆． 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦． 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点） 【基本性质】（重点） · 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 常见辅助线做法（考点）： 1） 过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． · 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角． 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等 · 圆周角定理（考点） 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） · 圆内接四边形 圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。 性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 【典例分析】 1．（2019·甘肃中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　） A．54° B．64° C．27° D．37° 2．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为（　　） A．2 B． C．2 D． 3．（2019·江苏汇文实验初中初三月考）如图，在⊙O中，点A是的中点，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ） A．15° B．20° C．25° D．40° 4．下列说法正确的是( ) A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等 5．（2019·兴化市板桥初级中学初三月考）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠B＝35°，则∠APD的大小为( ) A．45° B．55° C．65° D．75° 知识点二 点和圆的位置关系 · 点与圆的位置有三种： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在的圆周上. 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部. · 三点定圆的方法 1）经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个． 2）经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个． 3）经过三点时： 情况一：过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在； 情况二：若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． · 三角形的外接圆 1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. 3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）