第一章 三角函数单元总结-2019-2020学年上学期高一数学同步精品课堂（人教A版必修4）

第一章 三角函数单元总结（人教A版） 一、知识整合 2、 能力强化 类型一：任意角的三角函数的定义及三角函数线 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域. 例1、　函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域为________. 【精彩点拨】　先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解. [再练一题] 1.求函数f(x)＝的定义域. ＋ 类型二：三角函数的最值问题 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；二要注意正弦、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活运用方法. 例2、求函数f(x)＝cos2x＋sin x＋1的最小值. 【精彩点拨】　本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sin x的二次函数，然后再求最小值. [再练一题] 2.求函数y＝cos2x－sin x，x∈的值域. 类型三：三角函数的图象及变换 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质. 例3、如图1­1是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图象. 图1­1 (1)求此函数解析式； (2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？ 【精彩点拨】　(1)先确定A，k，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移. [再练一题] 3.已知函数y＝|cos x|. cos x＋ (1)画出函数的简图； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间. 类型四：三角函数的性质 三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质.在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧. 例4、已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数). (1)求f(x)的单调区间； (2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)求f(x)取最大值时x的取值集合. 【精彩点拨】　(1)将2x＋看成一个整体，利用y＝sin x的单调区间求解. (2)先求x∈的范围，再根据最值求a的值. 时2x＋ (3)先求f(x)取最大值时2x＋的值，再求x的值. [再练一题] 4.已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 类型五：数形结合思想 数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形相结合进行思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系.“以数解形”是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性.由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影. 例5、函数y＝的最小值为________，最大值为________. 【精彩点拨】　根据题目特征，构造符合题意图形，运用“数形结合”思想往往可以很简捷地解决问题. [再练一题] 5.求函数y＝的值域. 类型六：转化与化归的思想 化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y＝Asin(ωx＋φ)化归为简单的y＝sin x来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法. 例6、求函数y＝的单调区间. sin 【精彩点拨】　求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，需先保证x的系数为正值，如果ω<0，那么应先进行转化，将x的系数化为正数，再求解. [再练一题] 6.求函数y＝2sin的单调递增区间. 三、真题检测 1.将函数y＝2sin个周期后，所得图象对应的函数为(　　) 的图象向右平移 A.y＝2sin　　 B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图1­2所示，则(　　) 图1­2 A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 3.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图1­3所示，则f(x)的单调递减区间为(　　) 图1­3 A.