河北安平中学高考数学复习讲义：第十三讲 空间向量与立体几何

第十三讲　空间向量与立体几何 考纲要求： 1.考查线线、线面、面面关系的证明，常以解答题的第一问出现. 2.计算空间角，常以解答题的第二问出现. 3.计算几何体的体积，常在第二问或第三问中与空间角综合考查. 备考策略： 1.通过训练及时总结平行、垂直证明的常见方法以及空间角的空间向量求法. 2.注意逆向问题方程思想的运用. 考点一　　线面角的求法 例 1　如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF是梯形，BD＝DE＝2EF，BD∥EF，DE⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥AF； (2)求直线CE与平面BCF所成角的正弦值． [听课记录]　(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF.由四边形ABCD是菱形可知BD⊥AC，OD＝BD， 因为BD∥EF，OD＝EF，所以四边形ODEF是平行四边形，即OF∥DE，又DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥DE，故BD⊥OF，又AC∩OF＝O，所以BD⊥平面ACF，又AF⊂平面ACF，所以BD⊥AF. (2)以O为坐标原点，直线OB，OC，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，设菱形ABCD的边长为2，则由题意可知B(1,0,0)，C(0，，0)， ＝(－1，＝(－1,0,2)，，0)，F(0,0,2)，E(－1,0,2)，设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，因为 所以由x， ，y＝即z＝得 令x＝6，则n＝(6,2，3)是平面BCF的一个法向量． 设直线CE与平面BCF所成的角为θ，因为，2)， ＝(－1，－ 所以sinθ＝. .故直线CE与平面BCF所成角的正弦值为＝＝ [保分策略] 1．斜线与平面所成的角，就是斜线及其在平面上的射影所成的锐角． 2．向量法求线面所成的角． 求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝. 变式训练1. 如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是AC，A1B1的中点. （1）证明： ； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 考点二　二面角的求法 例 2　(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC； (2)过AC的平面交BD于点E