专题12 概率-备战2020年高考数学（文）之纠错笔记系列

专题12 概率 易错点1 忽略概率加法公式的应用前提致错 某商店日收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示： 日收入 [1000, 1500) [1500,2000) [2000, 2500) [2500, 3000) 概率 0.12 a b 0.14 已知日收入在[1000,3000)(元)范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)(元)范围内的概率. 【错解】记这个商店日收入在[1000,1500),[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000) (元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则日收入在[1500,3000)(元)范围内的事件为B+C+D,所以P(B+C+D)=1-P(A)=0.88. 【错因分析】误用P(B+C+D)=1-P(A).事实上,本题中P(A)+P（B）+P（C）+P（D）≠1,故事件A与事件B+C+D并不是对立事件. 【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥,且P(A)+P（B）+P（C）+P（D）=0.67, 所以P(B+C+D)=0.67-P(A)=0.55. 在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A，B，有，只有当事件A，B互斥时，等号才成立. 1．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12． （1）求甲射击一次，命中不足8环的概率； （2）求甲射击一次，至少命中7环的概率. 【答案】（1）甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22． （2）甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9 【解析】记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，则P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1， “甲射击一次，命中7环”为事件B，则P（B）＝0.12， 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生， 故A与B是互斥事件， （1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B， 由互斥事件的概率加法公式， P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22． 答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22． （2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C， “甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D， 则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D， ∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9． 答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9． 方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件， ∴1﹣0.1＝0.9． 答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9． 【名师点睛】本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法． 易错点2 混淆“等可能”与“非等可能” 从5名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛,求选中女生的概率. 【错解】从8人中选出1人的结果有“男生”“女生”两种,则选中女生的概率为. 【错因分析】因为男生人数多于女生人数,所以选中男生的机会大于选中女生的机会,它们不是等可能的. 【试题解析】选出1人的所有可能的结果有8种,即共有8个基本事件,其中选中女生的基本事件有3个,故选中女生的概率为.  利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基本事件是等可能发生的. 2．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可能出现的选择有种，满足条件要求的种数为种，则，故选B. 【名师点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）（基本事件的总数）. 错点3 几何概型中测度的选取不正确 在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C． （1）在斜边AB上任取一点M,求AM<AC的概率; （2）在∠ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率. 【错解】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'. 由题意,知AB=AC． 由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因此基本事件的区域应是线段AB． 所以. （2）在∠ACB的内部作射线，则所求概率为. 【错因分析】第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在∠ACB的内部作射线是均匀分布的，所以射线作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度. 【试题解析】（1）如图所示,在AB上取一点C',使AC'=