专题12 计数原理-备战2020年高考数学（理）之纠错笔记系列

专题12 计数原理 易错点1 分类计数时考虑不全 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？ 【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号； 每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号； 每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号， 根据分类加法计数原理知，共有不同的信号3＋6＋6＝15种． 【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同． 【试题解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号； 每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号； 每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号． 根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号． 【参考答案】39种. 1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点: (1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类; (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数. 2．使用分类加法计数原理遵循的原则： 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则． 3．应用分类加法计数原理要注意的问题： （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事． （2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法． （3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏． 1．某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教．甲老师主动要求去最偏远的村小A，则不同的安排有 A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】村小A安排一人，则有；村小A若安排2人，则有.故共有.故选B． 易错点2 未选准分步依据 将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？ 【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法； 同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法. 根据分步乘法计数原理，共有种不同的投法. 【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是“信箱”. 【试题解析】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法; 同理，第2，3，4封信各有3种投法. 根据分步乘法计数原理，共有种投法. 【参考答案】81种. 对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有种不同的投法. 1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点: （1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可; （2）完成每一步有若干方法; （3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数. 2．应用分步乘法计数原理要注意的问题： （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事． （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成． （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏． 2．如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有N A．10 B．13 C．15 D．25 【答案】C 【解析】因为只能向东或向北两个方向 向北走的路有5条，向东走的路有3条 走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果 根据分步计数原理知共有种结果，故选C． 【名师点睛】本题考查分步计数原理，本题的关键是把实际问题转化成数学问题，看出完成一件事共有两个环节，每一步各有几种方法，属于基础题. 易错点3 忽视排列数、组合数公式的隐含条件 解不等式. 【错解】由排列数公式得，化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12. ∵x∈N*，∴x＝8,9,10,11. 【错因分析】在排列数公式A中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，错解中没有考虑到x－2>0，8≥x，导致错误． 【试题解析】由，得，