专题14 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入-备战2020年高考数学（理）之纠错笔记系列

专题14 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入 易错点1 忽略判断框内的条件 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为 . 【错解】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋28＋1＋2＋3＋…＋8=546，故输出S的值为546. 【错因分析】解题过程错在循环是在k=10终止，而不是在k=9时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S＋29＋9. 【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋29＋1＋2＋…＋9=1067，故输出S的值为1067. 【参考答案】1067 【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程序框图运行的次数. 1. 注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同. 2. 注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体. 1．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】阅读流程图，初始化数值. 循环结果执行如下： 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； 第六次：， 结束循环，输出.故选B. 【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项. 易错点2 误将类比所得结论作为推理依据 已知都是非零实数,不等式的解集分别为M,N,则“”是“M=N ”成立的 条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种). 【错解】由知两个不等式同解,即“”是“M=N ”成立的充要条件. 【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别. 【试题解析】当时，可取,则, 故; 当时，可取，则，即. 综上知“”是“M=N ”成立的既不充分又不必要条件. 【参考答案】既不充分又不必要条件  类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误. 2．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类比上述结论可得的正值为 A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题意可得，，∴，解得，故选C. 易错点3 小前提错误 判断函数的单调性． 【错解】指数函数是增函数，而是指数函数，所以函数是增函数． 【错因分析】错解中的小前提“是指数函数”是错误的，函数不是指数函数，而是一个分段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论． 【试题解析】对于指数函数，当时是增函数，当时是减函数，故当时，是增函数；当时，是减函数． 演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提. 3．矩形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直，所以正方形是矩形.以上三段论的推理中 A．推理形式错误 B．小前提错误 C．大前提错误 D．结论错误 【答案】C 【解析】矩形的对角线不是垂直的, 正方形的对角线是垂直的，正方形是矩形，所以可知大前提出现了错误. 【名师点睛】本题主要考查逻辑推理的结构，分清三段论推理中的大前提，小前提，结论是求解关键. 易错点4 反证法误区——推理中未用到结论的反设 已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反证法证明:关于x的方程无实数根. 【错解】假设方程有实数根，由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得，而关于x的方程的根的判别式. ∵,∴，∴,即关于x的方程无实数根. 【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法. 【试题解析】假设方程有实数根，则该方程的根的判别式，解得或 ①, 而由已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0，解得 ②. 数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x的方程无实数根. 利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立. 4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于，反证假设正确的是 A．假设三内角都大于 B．假设三内角都不大于 C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于