专题04 等式性质与不等式性质、基本不等式（知识精讲）-【精创新教材】2019-2020高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

专题四 等式性质与不等式性质、基本不等式 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 不等式的性质 基本不等式 不等式性质 不等式两边同乘负数，不等号改方向。 基本不等式求最值 一正二定三相等 二.学法指导 1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：作差、变形、定号、结论。 2. 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 3．利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 4.求含字母的数（或式子）的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除. 5.运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 三.知识点贯通 知识点1 比较两数（式）的大小 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 例1.已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 知识点二 利用不等式性质判断命题真假及不等式性质的应用 1.不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 例题2：对于实数a，b，c下列命题中的真命题是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则＞ C．若a＜b＜0，则＞ D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 例题3.已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围． 知识点三 利用基本不等式比较大小 1.重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2.基本不等式 当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 例题4 .　(1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B.＋≥2 C.≥2 D.≥ (2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． 知识点四 利用基本不等式证明不等式 1.当a，b是任意正实数时，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 例题5．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. 知识点五 利用基本不等式求最值 1.已知x、y都是正数， (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 例题6.(1)已知x>0，求函数y＝的最小值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值． 五 易错点分析 易错一 不等式的性质的应用 例题7.判断对错。 (1)若a>b，则ac>bc一定成立．(　　) (2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 易错二 利用基本不等式求最值 例题8.已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； $$ 专题四 等式性质与不等式性质、基本不等式 知识精讲 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 不等式的性质 基本不等式 不等式性质 不等式两边同乘负数，不等号改方向。 基本不等式求最值 一正二定三相等 二.学法指导 1.作差法比较两个实数大小的基本步骤：作差、变形、定号、结论。 2. 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 3．利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成