2.2.4 第2课时 均值不等式与最大值、最小值（课件+作业）-2019-2020学年新教材高中数学必修第一册【优化探究】同步导学案（人教B版）

一、复习巩固 1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝的最小值为(　　) ＋，则＋ A．4　　　　　　　　 B．2 C．8 D．16 解析：由a＋b＝时，等号成立．故选B.＝，当且仅当＝2≥2＋，得ab＝1，则＝＋ 答案：B 2．若实数a，b满足，则ab的最小值为(　　) ＝＋ A. B．2 C．2 D．4 解析：因为. ，所以ab≥2≥2＋＝，所以a，b同号且均大于零，由均值不等式可得＝＋ 当且仅当. 时取等号，所以ab最小值为2＝ 答案：C 3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C. D. 解析：由题意知，x＋2y＝8－x·2y≥8－2，整理得(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4，故选B. 答案：B 4．若a，b都是正数，则(1＋)的最小值为(　　))·(1＋ A．7 B．8 C．9 D．10 解析：∵a，b都是正数，∴(1＋＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号． ≥5＋2＋)＝5＋)(1＋ 答案：C 5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　) A. B. C．2 D.[来源:学*科*网] 解析：由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2. 答案：C 6．已知x＞0，y＞0且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为(　　) A. B．2 C. D．2 解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2， ∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2， ∴4≤4xy－2， 则(＋1)≥0，－2)( ∴≥2，∴xy≥2. 答案：D 7．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2， 所以xy≤≥1；＝1，所以＝ 又≥M恒成立，所以M≤1， 即M的最大值为1. 答案：A 8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 解析：设y为一年的总运费与总存储费用之和，则y＝＝240.[来源:学_科_网]＋4x≥2·6＋4x＝ 当且仅当＝4x，即x＝30时，y取最小值．[来源:Zxxk.Com] 答案：30 9．已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围． 解析：∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2≥3，即ab≥9.＋3，解得 10．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，求的最小值． ＋ 解析：由a＋2b＝3得b＝1，a＋ 所以.＝＋2≥＋＋)＝＋b)(a＋＝(＋ 当且仅当a＝2b＝时取等号． 二、综合应用 11．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　) ＋ A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2 C．2＜a＋b＜4 D．a＋b＞4[来源:Zxxk.Com] 解析：因为a＋b＋，当且仅当a＝b时，等号成立，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4.≤)＝5，又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋b＝＝(a＋b)(1＋＋ 答案：A 12．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为(　　) A. B. C. D．L2 解析：设菜园的长为x，宽为y， 则x＋2y＝L，面积S＝xy， 因为x＋2y≥2.＝.所以xy≤ 当且仅当x＝2y＝时，，y＝，即x＝ Smax＝，故选A. 答案：A 13．正数a，b满足＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________． ＋ 解析：因为a＞0，b＞0，＝1，＋ 所以a＋b＝(a＋b)·(＝16.≥10＋2＋)＝10＋＋ 由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m， 即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立， 又x2－4x－2＝(x－2)2－6的最小值为－6， 所以－6≥－m，即m≥6. 答案：m≥6 14．已知直线l：ax＋by－ab＝0(a＞0，b＞0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________． 解析：因为直线l经过点(2,3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝时等号成立． ，b＝2＋，即a＝3＋，当且仅当a－3＝＝5＋2＋5≥5＋2＝a－3＋＞0，所以a－3＞0，所以a＋b＝a＋ 答案：5＋2 15．(1)当x＜的最大值；[来源:Zxxk.Com]时，求函数y＝x＋ (2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值． 解析：(1)y＝.)＋＋＝－(＋(2x－3)＋ 当x＜时，有3－2x＞0， ∴＝4，≥2＋ 当且仅当时取等号． ，即x＝－＝ 于是y≤－4＋.，故函数的最大值为－＝－