2.1.1　椭圆及其标准方程（课件+作业）2019-2020学年高中数学选修1-1【优化探究】同步导学案（人教版）

2．1　椭　圆2.1.1　椭圆及其标准方程 内　容　标　准 学　科　素　养 1.了解椭圆标准方程的推导． 2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程． 3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程. 利用直观想象 发展逻辑推理 提升数学运算 授课提示：对应学生用书第20页 [基础认识] 知识点一　椭圆的定义 在现实生活中，我们经常看到香皂盒、浴盆、体育场的跑道，油罐车的横切面，橄榄球等，这些物品都给我们以椭圆形的印象，那么如何设计出这些椭圆形的物品呢？ (1)取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？ 提示：圆． (2)如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？ 提示：椭圆． (3)在问题(2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？ 提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数．　　　 　知识梳理　把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 几点说明：(1)F1，F2是两个不同的定点． (2)M是椭圆上任意一点，且|MF1|＋|MF2|＝常数． (3)通常这个常数记为2a，焦距记为2c且2a>2c. (4)如果2a＝2c，则M的轨迹是线段F1F2. (5)如果2a<2c，则点M的轨迹不存在．(由三角形的性质知) 知识点二　椭圆的标准方程 观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？ 提示：椭圆是对称图形，以两焦点F1，F2所在直线为一条坐标轴，F1F2的中点为原点建立直角坐标系方程简单．　　　 　知识梳理　椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>b>0)＋ ＝1(a>b>0)＋ 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 [自我检测] 1．下列说法中，正确的是(　　) A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案：C 2．若椭圆方程为＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为____________． ＋ 答案：x　(－2,0)，(2,0) 授课提示：对应学生用书第21页 探究一　求椭圆的标准方程 　[阅读教材P34例1]已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程． 题型：待定系数法求椭圆的标准方程． 方法步骤：①根据条件设出所求椭圆的标准方程． ②根据已知条件建立a，b，c的方程(组)． ③解出a，b的值即可得出椭圆的标准方程． [例1]　根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． [解析]　(1)法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)． ＋ 因为2a＝＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9， ＋ 故所求椭圆的标准方程为＝1. ＋ 法二：设所求椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)． ＋ 因为椭圆过点(5,0)， 所以＝1，即a2＝25. 又因为c＝4及b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为＝1. ＋ (2)因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)． ＋ 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以解得 故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. 方法技巧　1.利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤： (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算． 跟踪探究　1.根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)经过两点A(0,2)，B； (2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点． 解析：(1)设所求椭圆的方程为＝1(m>0，n>0，且m≠n)． ＋ ∵椭圆过点A(0,2)，B， ∴ 解得 即所求椭圆的方程为x2＋＝1. (2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，－)， )