2.3.1　抛物线及其标准方程（课件+作业）2019-2020学年高中数学选修1-1【优化探究】同步导学案（人教版）

2．3　抛物线 2.3.1　抛物线及其标准方程 内　容　标　准 学　科　素　养 1.理解并掌握抛物线的定义． 2.理解并掌握抛物线的标准方程． 3.掌握求抛物线标准方程的方法． 4.会用抛物线的定义解决简单的轨迹问题. 发展逻辑推理 提高数学运算能力 授课提示：对应学生用书第39页 [基础认识] 知识点一　抛物线的定义 我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题．那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？ 如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？ 提示：可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．　　　 知识梳理　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 知识点二　抛物线的标准方程 知识梳理　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0)[来源:Z+xx+k.Com] x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ [自我检测] 1．若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆　　　　　　　 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 答案：B 2．抛物线x2＝y的开口向________，焦点坐标为________，准线方程是________．[来源:Zxxk.Com] 答案：上　　y＝－ 3．若抛物线的准线方程是x＝5，则其标准方程为________，焦点坐标为________． 答案：y2＝－20x　(－5,0) 授课提示：对应学生用书第40页 探究一　求抛物线的标准方程 　[阅读教材P58例1](1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程． 题型：(1)利用标准方程，求焦点与准线． (2)根据条件求抛物线的标准方程． 方法步骤：①先求出p的值，从而写出焦点坐标及准线方程． ②先确定焦点的位置，求出p的值，写出抛物线的标准方程． [例1]　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[来源:Zxxk.Com] [解析]　(1)设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)， 又点(－3,2)在抛物线上， ∴2p＝， 或2p＝ ∴所求抛物线的标准方程为y2＝－y. x或x2＝ (2)当焦点在y轴上时， 已知方程x－2y－4＝0， 令x＝0，得y＝－2， ∴所求抛物线的焦点为(0，－2)， 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 由＝2，得2p＝8， ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y； 当焦点在x轴上时，已知x－2y－4＝0， 令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 由＝4，得2p＝16， ∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x. 综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x. 方法技巧　1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为： (1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型； (2)求参数p的值； (3)确定抛物线的标准方程． 2．当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程． 跟踪探究　1.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y＝－1； (3)过点A(2,3)； (4)焦点到准线的距离为. 解析：(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝－8x. (2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1， ∴p＝2， ∴抛物线的标准方程为x2＝4y. (3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)， 将点A(2,3)的坐标代入， 得32＝m·2或22＝n·3， ∴m＝. 或n＝ ∴所求抛物线的标准方程为y2＝y. x或x2＝ (4)由焦点到准线的距离为. ，可知p＝ ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y. 探究二　抛物线定义的应用 　[教材P59练习3题](1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点距离是a，则点M到准线的距离是________，点M的横坐标是_____