3.1.1　变化率问题 3.1.2 导数的概念（课件+作业）2019-2020学年高中数学选修1-1【优化探究】同步导学案（人教版）

3.1.1　变化率问题 3．1.2　导数的概念 内　容　标　准 学　科　素　养 1.了解导数概念的实际背景． 2.会求函数在某一点附近的平均变化率． 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 利用数学抽象 提升逻辑推理 授课提示：对应学生用书第49页 [基础认识] 知识点一　函数的平均变化率 丰富多彩的变化率问题随处可见．导数研究的问题就是变化率问题，那么，变化率和导数是怎样定义呢？ (1)气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝. πr3⇒r(V)＝ 当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了 r(1)－r(0)≈0.62(dm)， 气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)． 类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为≈0.16 (dm/L)．　　　 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示： (2)高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系 h(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10. 如果我们用运动员在某段时间内的平均速度. 描述其运动状态，那么：求0≤t≤0.5和1≤t≤2这段时间内的 提示：在0≤t≤0.5这段时间里， ＝4.05 (m/s)； ＝ 在1≤t≤2这段时间里， ＝－8.2 (m/s)．＝ 知识梳理　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． 习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为. 思考：观察函数y＝f(x)的图象(如图)，平均变化率 表示什么？ ＝ 提示：过曲线上两点的割线的斜率． 知识点二　函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 在高台跳水运动中，计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题： (1)运动员在这段时间里是静止的吗？ (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 提示：(1)运动员在这段时间里不是静止的． (2)平均速度不能反映他在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态． 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 h(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10， 求从2 s到(2＋Δt)s这段时间内平均速度 ＝－13.1－4.9 Δt. ＝ 我们发现，当Δt趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值－13.1.　　　 从物理的角度看，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度就无限趋近于t＝2时的瞬时速度．因此，运动员在t＝2时的瞬时速度是－13.1 m/s. 为了表述方便，我们用 li＝－13.1 表示“当t＝2，Δt趋近于0时，平均速度趋近于确定值－13.1”． 知识梳理　瞬时变化率 把式子：li叫做函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． ＝li 注：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值，它刻画函数在某一点处变化的快慢． 知识点三　导数的概念 知识梳理　一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：li. ＝li ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li [自我检测] 1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是(　　) A．4　　　　　　　 B．4.1 C．0.41 D．3 答案：B 2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 答案：A 3．设函数f(x)在点x0附近有意义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b 答案：C 授课提示：对应学生用书第51页 探究一　求函数的平均变化率 　[教材P75例1改编]将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算从2 h到6 h时，原油温度的平均变化率． 解析：Δy＝f(6)－f(2)＝62－7×6＋15－22＋7×2－15＝4， Δx＝6－2＝4， ∴＝1， ＝ ∴从2 h到6 h原油温度的平均变化率为1. [例1]　已知