3.1.3 导数的几何意义（课件+作业）2019-2020学年高中数学选修1-1【优化探究】同步导学案（人教版）

3.1.3　导数的几何意义 内　容　标　准 学　科　素　养 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2.会求简单函数的导函数． 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程. 利用数学抽象 发展逻辑推理 提高数学运算 授课提示：对应学生用书第53页 [基础认识] 知识点一　导数的几何意义 导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x＝x0附近的变化情况．那么，导数f′(x0)的几何意义是什么呢？ 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？ 　　　 提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线． 割线PPn的斜率是kn＝. 当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)． 知识梳理　(1)导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝. (2)切线方程： 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 知识点二　导函数的概念 知识梳理　从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝. [自我检测] 1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(　　) A．4　　　　　　　 B．16 C．8 D．2 答案：C 2．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________． 答案：4x＋y＋1＝0 授课提示：对应学生用书第54页 探究一　导数几何意义的应用 　[阅读教材P77例2]如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况． 题型：导数几何意义的应用． 方法步骤：①分别观察得出h(t)在t0，t1，t2处的导数，即切线的斜率的大小． ②导数是刻画函数的变化快慢情况的量． ③得出t0处h(t)几乎没有升降． 又∵h′(t1)<h′(t2)<0， ∴h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢． [例1]　如图表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程． [解析]　用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降； (2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减； (3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减． 由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢； (4)当t＝2时，f(2)＝0.在t＝2时的切线的斜率 k＝f′(2)＝ (－2Δt－4)＝－4.所以切线的方程为y＝－4(x－2)，即4x＋y－8＝0.＝ ＝ ＝ 方法技巧　函数y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率．一般地，切线的斜率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线的变化就越慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由曲线在点P附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在P处的切线的斜率的大小． 跟踪探究　 1．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 解析：从图象上可以看出f(x)在x＝2处的切线的斜率比在x＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f′(3)<f′(2)，