专题2.2.2 对数函数及其性质重难点题型（举一反三）-2019-2020学年高一数学必修一举一反三系列（新课标人教A版）

2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 对数函数的定义】 1.对数函数的概念 一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 【知识点2 对数函数的图象与性质】 对数函数的图象与性质列表如下： a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点3 反函数】 在指数函数中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R，值域是（0，+）； 在对数函数中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是R，值域是（0，+）， 像这样的两个函数叫作互为反函数. 【考点1 对数函数的概念】 【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（　　） A．y＝log3（x+1） B．y＝loga（2x）（a＞0，且a≠1） C．y＝lnx D． 【分析】根据对数函数的定义即可得出． 【答案】解：根据对数函数的定义可得：只有y＝lnx为对数函数． 故选：C． 【点睛】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式1-1】给出下列函数： ①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝logx+1x；④y＝logπx． 其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由对数函数的定义依次判断即可． 【答案】解：①y＝x2的真数为x2，故不是对数函数； ②y＝log3（x﹣1）的真数为x﹣1，故不是对数函数； ③y＝logx+1x的底数为x+1，故不是对数函数； ④y＝logπx是对数函数； 故选：A． 【点睛】本题考查了对数函数的定义的应用． 【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（　　） ①y＝logx2；②y＝logax（a∈R）③y＝log8x； ④y＝lnx⑤y＝logx（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据对数函数的定义，y＝logax（a＞0，且a≠1），逐一分析给定函数是否为指数函数，可得结论． 【答案】解：①y＝logx2不是对数函数； ②y＝logax（a∈R）不是对数函数； ③y＝log8x是对数函数； ④y＝lnx是对数函数； ⑤y＝logx（x+2）不是对数函数； ⑥y＝2log4x不是对数函数； ⑦y＝log2（x+1）不是对数函数； 综上所述，对数函数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是对数函数的定义，熟练掌握对数函数的定义，是解答的关键． 【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（　　） ①y＝logax2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝logxa（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝logax（a＞0，a≠1） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【答案】解：①y＝logax2（a＞0，且a≠1），真数不是变量x，不是对数函数； ②y＝log2x﹣1，不是对数函数；③y＝2log8x；系数不是1，不是对数函数 ④y＝logxa（x＞0，且x≠1），底数不是常数，不是对数函数； ⑤y＝log5x，满足对数函数的定义，是对数函数； ⑥y＝logax（a＞0，a≠1）满足对数函数的定义，是对数函数， 故是对数函数的有⑤⑥，共有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数概念的判断，根据对数函数的定义是解决本题的关键． 【考点2 利用对数函数的性质比较大小】 【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【分析】根据对数的换底公式可得出，从而可得出2＜log420＜log315，且可得出，这样即可得出a，b，c的大小关系． 【答案】解：，，，且log54＞log53＞0， ∴， ∴2＝log416＜log420＜log315， ∴a＜c＜b． 故选：C． 【点睛】考查对数的换底公式，以及指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，不等式的性质． 【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足lo