专题05 解析几何中的对称解法-名师揭秘2020年高考数学一轮总复习之解析几何（文理通用）

专题05 解析几何中的对称解法 一．【学习目标】 1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称 2.对称思想的应用 二．【知识点】 1．中心对称 (1)设平面上的点M(a，b)，P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足：＝b，那么，我们称P，P′两点关于点M对称，点M叫做对称中心． ＝a， (2)点与点对称的坐标关系：设点P(x，y)关于M(x0，y0)的对称点P′的坐标是(x′，y′)，则. 2．轴对称 (1)设平面上有直线l：Ax＋By＋C＝0和两点P(x，y)，P′(x′，y′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P，P′关于直线l对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题 对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解： ①关于x轴对称(以_____代______)； ②关于y轴对称(以_______代_______)； ③关于y＝x对称(_______互换)； ④关于x＋y＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x＝a对称(以______代______)； ⑥关于y＝b对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题 可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系： 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)对称，则 三．【题型】 （一）点关于直线的对称 （二）光线的对称问题 （三）圆关于直线的对称 （四）利用对称求最值 （五）圆锥曲线的对称 （六）椭圆的中点弦问题 （七）双曲线的中点弦 （八）抛物线的对称问题 （九）椭圆中的对称方法 （十）对称的综合应用 四．【题型解法】 （一）点关于直线的对称 例1.已知坐标原点关于直线对称的点，则直线的方程是（ ） A． B． C． D． 练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知的顶点,若其欧拉线方程为, 则顶点的坐标为 (　） A． B． C．或 D． （二）光线的对称问题 例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 (　　) A. B. C.6 D. 练习1.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 （三）圆关于直线的对称 例3.．直线：、：与： 的四个交点把分成的四条弧长相等，则 A．0或1 B．0或 C． D．1 练习1．已知圆关于对称，则的值为　　 A． B．1 C． D．0 练习2.已知直线与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（ ）． A． B． C． D． （四）利用对称求最值 例4．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为（）． A． B． C． D． （五）圆锥曲线的对称 例5.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，），当周长最小时，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 练习1．椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． （六）椭圆的中点弦问题 例1．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A． B． C． D． 练习1．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 练习2．已知椭圆，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（　　） A．3 B．2 C． D． 练习3．已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（　　） A. B. C. D.1 （七）双曲线的中点弦 例7．直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆的方程为，则（ ） A.-3 B.3 C. D. 练习1．双曲线的一条弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ） A． B． C． D． 练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点． 求双曲线C的标准方程； 是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率. （1）求双曲线的方程； （2）求以点为中点的弦所在的直线方程. （八）抛物线的对称问题 例8．已知抛物线，倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且线段中点的纵坐标为1，则抛物线的准线方程是________ 练习1．如图所示，点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为___________. （九）