【暑期特惠04】专题02 基本不等式-高考数学专题讲义

基本不等式训练 1．若函数 在 处取最小值，则 等于（ ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 将函数 的解析式配凑为 ，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的 值，可得出 的值. 【详解】 当 时， ，则 ，[来源:学科网] 当且仅当 时，即当 时，等号成立，因此， ，故选：A. 【点睛】 本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题. 2．设正项等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 的最小值为 A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用等差数列的求和公式得出 ，再利用等差数列的基本性质得出 ，再将代数式 和 相乘，展开后利用基本不等式可求出 的最小值. 【详解】 由等差数列的前 项和公式可得 ，所以， ， 由等差数列的基本性质可得 ， ， 所以， ，当且仅当 ，即当 时，等号成立， 因此， 的最小值为 ，故选：D. 【点睛】 本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。 3．圆 上存在两点关于直线 对称，则 的最小值为 A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【解析】 由圆的对称性可得，直线 必过圆心 ，所以 .所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，故选B． 4．若 ，且 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 将代数式 与 相乘，展开式利用基本不等式求出 的最小值 ，将问题转化为解不等式 ，解出即可. 【详解】 由基本不等式得 ， 当且仅当 ，即当 时，等号成立，所以， 的最小值为 . 由题意可得 ，即 ，解得 或 . 因此，实数 的取值范围是 ，故选：B. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。 5．若实数 满足 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用基本不等式得 ，然后解不等式可得，同时注意 ． 【详解】 ∵ ，∴ （ 时取等号）， ，∴ ，又 ，∴ ， ∴ ． 故选A． 【点睛】 本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用： ． 6．在 中， ， ，则 的最小值是（ ） A．2 B．4 C． D．12 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 ， ，得到 ， ，平方计算得到最小值. 【详解】 故答案为C 【点睛】 本题考查了向量的模，向量运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力. 7．已知 ，则 的最小值为（ ）[来源:学&科&网] A． B．6 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 结合所给表达式的特点，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值. 【详解】 ∵ ，∴ ∵ ， ∴ ，当且仅当 时等号成立. 故选B. 【点睛】 本题主要考查均值定理的应用，使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证. 8．已知函数 ，在 中，内角 的对边分别是 ，内角 满足 ，若 ，则 的面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】[来源:学科网ZXXK] 【分析】 通过将 利用合一公式变为 ，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 ， 为三角形内角，则 ， ，当且仅当 时取等号 【点睛】 本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高. 9．已知函数 ，在 中，内角 的对边分别是 ，内角 满足 ，若 ，则 的周长的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据降幂公式以及辅助角公式化简 ，把 带入利用余弦定理以及基本不等式即可。 【详解】 由题意得 ， 为三角形内角所以 ，所以 ，因为 ，所以 ， ，当且仅当 时取等号 ，因为 ，所以 ，所以选择B 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简，以及余弦定理和基本不等式。在化简的过程中常用到的公式有辅助角、二倍角、两角和与差的正弦、余弦等。属于中等题。 10．已知正数 、 满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由