【暑期特惠04】专题03 圆锥曲线中的比值问题-高考数学专题讲义

圆锥曲线中的比值问题 1．如图，椭圆和圆，已知椭圆过点，焦距为2. (1) 求椭圆的方程； (2) 椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点.设的斜率为，直线斜率为，求的值. 解：（1）解法一：将点代入椭圆方程，解方程组，求得，所以椭圆的方程为． ………4分 解法二：由椭圆的定义求得，所以椭圆的方程为． ………4分 说明：计算错全错. （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，， 不妨设直线的斜率为，则， 由得或 . ………6分 用去代，得， ………8分 则 ………10分 由得或[来源:学科网] . ………12分 则，所以． ………14分 2.如图，已知椭圆，离心率为．过原点的直线与椭圆交 于， 两点（，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且． （1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；[来源:Z|xx|k.Com] （2）设直线、的斜率分别为、，求的值． 解：（1）∵ ，解得：∴∴椭圆方程为：……6分 （2）法（一） 设，，则，∵，在椭圆上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ……11分 ∵ ∴ ∴ ……14分 法（二） 设，，则 则，下同法1 3．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，右准线为，与轴相交于点， 且是的中点． ⑴求椭圆的离心率； ⑵过点的直线与椭圆相交于两点，都在 轴上方，并且在之间，且． ①记的面积分别为，求； ②若原点到直线的距离为，求椭圆方程． 解⑴因为是的中点，所以，即， 又、，所以，所以； ……………4分 ⑵ ①解法一：过作直线的垂线，垂足分别为，依题意，， 又，故，故是的中点，∴ 又是中点，∴，∴； ……………8分 解法二：∵，∴，椭圆方程为，， 设，，点在椭圆上，即有， ∴ 同理， 又，故得是的中点，∴， 又是中点，∴，∴； ……………8分 ②解法一：设，则椭圆方程为， 由①知是的中点，不妨设，则， 又都在椭圆上，即有即 两式相减得：，解得， ……………10分 可得，故直线的斜率为， ……………13分 直线的方程为，即 原点到直线的距离为， 依题意，解得， 故椭圆方程为． ……………16分 解法二：设，则椭圆方程为， 由①知是的中点，故， 直线的斜率显然存在，不妨设为，故其方程为，与椭圆联立，并消去得：，整理得：，（*） 设，，依题意： 由解得： [来源:学+科+网] 所以，解之得：，即． 直线的方程为，即 原点到直线的距离为， 依题意，解得， 故椭圆方程为． ……………16 4、椭圆 的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆C的方程； (2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为k的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若， 试证明:为定值，并求出这个定值． 解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1， 得y＝±.由题意知 ＝1，即a＝2b2. ……………2分 又e＝＝， ………… …4分 所以a＝2，b＝1. ……………5分 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. ……………6分 (2)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)． 联立 ………………8分 整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0. 由题意Δ＝0， 即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0. ………………10分 又＋y＝1， 所以16yk2＋8x0y0k＋