【暑期特惠04】专题04 圆锥曲线中的取值范围-高考数学专题讲义

圆锥曲线中的取值范围问题 1．已知椭圆的下顶点为，到焦点的距离为. （1）设Q是椭圆上的动点，求的最大值； （2）若直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当，且满足时，求面积的取值范围． 解（1）易知，所以椭圆的方程为 ；设， 则． ∴当时，． ……………………5分 （2）依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为（）． ∵直线即与圆O:相切， ∴有：得．……………………7分 又∵点A、B的坐标（，）、（，）满足： 消去整理得， 由韦达定理得，． 其判别式， 又由求根公式有． ∵== ．…………………12分[来源:学§科§网Z§X§X§K] ． ∵，且． ∴． ……………………15分 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ. (1) 若点P的坐标为，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程； (2) 若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈，求实数λ的取值范围． 解：(1) 因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点， 所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a， 从而△PQF2的周长为4a. 由题意，得4a＝8，解得a＝2.(2分) 因为点P的坐标为， 所以＋＝1，解得b2＝3. 所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分) (2) (解法1)因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0.设Q(x1，y1)． 因为P在椭圆上， 所以＋＝1，解得y0＝，即P.(7分) 因为F1(－c，0)， 所以＝，＝(x1＋c，y1)． 由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1， 解得x1＝－c，y1＝－， 所以Q.(11分) 因为点Q在椭圆上，所以e2＋＝1， 即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1. 因为λ＋1≠0， 所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝＝－3.(14分) 因为e∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5. 所以λ的取值范围是.(16分) (解法2)因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方， 故设P(c，y0)，y0＞0. 因为P在椭圆上， 所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，)．(7分) 因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y＝(x＋c)． 由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0. 因为直线PF1与椭圆有一个交点为P， 设Q(x1，y1)， 则x1＋c＝－，即－c－x1＝.(11分) 因为＝λ， 所以λ＝＝＝＝＝－3.(14分) 因为e∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5. 所以λ的取值范围是.(16分) 3.如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，圆O：x2＋y2＝b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y＝kx＋b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P，Q，设＝λ. (1) 若点P(－3，0)，点Q(－4，－1)，求椭圆C的方程； (2) 若λ＝3，求椭圆C的离心率e的取值范围． 解：(1) 由点P在圆O：x2＋y2＝b2上，得b＝3. 又点Q在椭圆C上，得＋＝1, 解得a2＝18， ∴ 椭圆C的方程是＋＝1.(5分) (2) 由得x＝0或xP＝－；(7分) 由得x＝0或xQ＝－.(9分) ∵ ＝λ ，λ＝3，∴ ＝， ∴ ·＝，即·＝， ∴ k2＝＝4e2－1. ∵ k2>0，∴ 4e2>1，即e>. 又0<e<1，∴ <e<1，即e的取值范围为.(16分) 4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，左准线方程为x＝－2. (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 已知直线l交椭圆C于A，B两点． ① 若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足＝λ，＝μ.求证：λ＋μ为定值； ② 若OA⊥OB(O为原点)，求△AOB面积的取值范围． (1) 解：由题设知c＝1，＝2，a2＝2c，(1分) ∴ a2＝2，b2＝a2－c2＝1，(2分) ∴ 椭圆C：＋y2＝1.(3分) (2) ① 证明：由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则P(0，k)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l方程代入椭圆方程，得x2＋2k2(x＋1)2＝2，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， ∴ x1＋x2＝，x1x2＝.(5分) 由＝λ，＝μ知，λ＝，μ＝，(7分)[来源:Zxxk.Com] ∴ λ＋μ＝－＝－＝－＝－4(定值)．(9分) ② 解：当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，易知△AOB的面积S＝.(10分) 当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y＝kx，OB：y＝－x. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx代入椭圆C方程，得x2＋2k2x2＝2， ∴ x＝