【暑期特惠04】专题05 圆锥曲线中的最值问题和定值问题-高考数学专题讲义

与圆锥曲线有关的几个最值问题 一、圆锥曲线上的任一点与圆锥曲线对称轴上某一定点的距离的最值问题： 例1、设 是椭圆 短轴的一个端点， 为椭圆上的一个动点，求 的最大值。 例2、给出问题： 是双曲线 的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点 的距离等于9，求点P到焦点 的距离。 二、与圆锥曲线的定义所涉及的一些特殊点有关的最值问题： 例3、 为双曲线 右支上一点， 分别是圆 和 的点，则 的最大值是 。 例4、已知 是椭圆 内的点， 是椭圆上的动点，求 的最大值与最小值。 [来源:学|科|网] 三、圆锥曲线上的任意点到某一定直线的距离的最值问题： 例5、求抛物线 上的点到直线 距离的最小值。 例6、求椭圆 上的点到直线 距离的最小值。 练习：1、已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．[来源:学*科*网] （Ⅰ）求该双曲线的方程；[来源:学_科_网Z_X_X_K] （Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； w.w.w.zxxk.c.o.m 与圆锥曲线有关的几个最值问题 （含答案） 一、圆锥曲线上的任一点与圆锥曲线对称轴上某一定点的距离的最值问题： 例1、设 是椭圆 短轴的一个端点， 为椭圆上的一个动点，求 的最大值。 解：由题意， 点坐标为 。设 ， 则 ， （图一） 因为 是椭圆上的点，所以 ，则有 ，且 ， 所以 令 因为 ，所以 ，则 若 ，即 ，则当 时， ； 若 ，即 ，则当 时， ； 若 ，即 ，则当 时， 。[来源:学科网ZXXK] 综上：略。 说明：在圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题中，所给定点一般都是圆锥曲线的对称轴上的点，否则变量统一往往比较困难。 例2、给出问题： 是双曲线 的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点 的距离等于9，求点P到焦点 的距离。 某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ，即 ，得 或17。 该学生的解答是否正确？若正确，请写出他的解题依据；若不正确，请写出正确结果。 分析：利用例1的方法易证，双曲线 上到其一焦点 的距离最近的点 是与这个焦点对应的一支的顶点 ，即 。所以本例中 ，故 符合题意。 二、与圆锥曲线的定义所涉及的一些特殊点有关的最值问题： 求圆锥曲线上任一点与一个或几个定点的距离的最值问题中，如果所给定点与圆锥曲线定义有关，不妨利用定义中所蕴藏的内在关系解决问题。 例3、 为双曲线 右支上一点， 分别是圆 和 的点，则 的最大值是 。 解：如图三，两定圆的圆心 、 即双曲线 的左右焦点，由双曲线定义可知 。又 ， ，所以 。 [来源:Zxxk.Com] （ 图二 ） （图三） 例4、已知 是椭圆 内的点， 是椭圆上的动点，求 的最大值与最小值。 解：由题意，点 即椭圆右焦点 （如图三），设椭圆左焦点 ，则 ，由椭圆定义可知 ，则 ，显然，当 、 、 三点共线时， ，所以 ， 。 说明：三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，“两点之间线段最短”等平面几何中的一些重要结论是平面解析几何中求解最值问题的一些理论依据，问题在于如何将所要解决的最值问题转化成这些广为人知的数学模型。 三、圆锥曲线上的任意点到某一定直线的距离的最值问题： 求圆锥曲线上任一点到某一定直线的距离的最值，借助“点在曲线上”实现变量统一往往比较困难，这时可借助“切线平移法”实现变量统一或“三角代换”求最值。 例5、求抛物线 上的点到直线 距离的最小值。 解法一：设抛物线 上任一点 坐标为 ，则点 到直线 的距离为 ，下面同例1解法易得 。 解法二：（切线平移法） 设与直线 平行的直线 的方程为： ， 则直线 平移到与抛物线相切时的切点 即抛物线上到 直线 最近的点，直线 与 的距离即所求最小距离。 由 ，则由△ 。 则抛物线 上的点到直线 距离的最小值为 。 说明：在求椭圆或双曲线一支上的一点到一条定直线的距离的最值问题中，“变量统一”很难做到，在这种情况下，“切线平移法”就显得较为方便。 例6、求椭圆 上的点到直线 距离的最小值。 解法一：（切线平移法）设与直线 平行的直线 的方程为： ， 由 ，则由△ ， 则 ，则 。 解法二：（三角代换法） 设 EMBED Equation.3 为椭圆上任一点，因为 ，所以可设 ，则点 到直线 距离为 ，则 。 说明：与圆、椭圆或双曲线有关的最值问题中，利用三角比中的平方关系实现变量统一也是平面解析几何中一种较为常见的方法。 通过前面几种常见最值问题的赘述可以看到，解析几何中的最值问题和以前所学过的知识是存在着一种紧密的内在联系的，只要我们能够深刻理解圆锥曲线的定