01 数列知识结构与方法拓展-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

■安徽省利辛高级中学 胡 彬 一、知识结构框架 数列 数列的概念与简单表示 数列的定义 数列的通项公式;数列的前n项 和及其求法 数列的递推公式,数列的分类 an 与Sn 的关系 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 等差、等比数列 定义 通项公式 前n项和公式 中项公式 判断与证明 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 等差、等比数列的性质 基本性质及应用 与其相关的求和问题 求和 公式法,倒序求和法 错位相减法,裂项相消法 分组求和法,并项求和法及特殊数列求和法 应用→数列在日常经济生活及其他方面的应用 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 二、结构分析 在本章中,要了解数列的概念和几种简 单的表示方法,并知道数列是自变量为正整 数的一类特殊函数关系;掌握求数列通项的 几种常用方法;理解等差数列的概念及其与 一次函数的关系;掌握等差数列的通项公式 与前n项和公式的关系,并熟练掌握其推导 方法。能在具体的问题情境中识别数列的等 差(等比)关系,并能以其相关知识解决相应 的问题,熟练掌握等差(等比)数列的基本运 算和相关性质;熟练掌握数列求和的常用方 法。本部分一直是高考的热点与重点。预测 2020年高考将会以等差(等比)数列的通项 公式及其性质、前n项和公式及性质、数学文 化知识等综合考查,有时考查数列与函数、不 等式等知识的综合,以中档题为主。本部分 涉及的数学思想主要为转化与化归思想、函 数与方程思想、分类整合思想,考查的数学核 心素养主要是数学运算、数学建模。 三、典例分析 例1 根据数列的前几项,写出下列各 数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2) 2 3 ,4 15 ,6 35 ,8 63 ,10 99 ,…; (3)1,0, 1 3 ,0, 1 5 ,0, 1 7 ,0,…; (4)3,33,333,3 333,…。 分析:先观察各项的特点,然后归纳出其 通项公式,要注意项与项数之间的关系,项与 前后项之间的关系。 解:(1)数列中的符号问题可通过(-1)n 或(-1)n+1 表示,其各项的绝对值的排列规 律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对 值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5)。 (2)这是一个分数数列,其分子构成偶数 数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7× 9,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积,故通 项公式为an= 2n (2n-1)(2n+1) 。 (3)把数列改写成 1 1 ,0 2 ,1 3 ,0 4 ,1 5 ,0 6 , 1 7 ,0 8 ,…,分母依次为1,2,3,…,而分子1, 0,1,0,…,呈 周 期 性 出 现,故 通 项 公 式 为 an= 1+(-1)n+1 2n 或an= sin nπ 2 n 。 (4)将数列改写为 9 3 ,99 3 ,999 3 ,9 999 3 ,…, 分母都是3,而分子分别是10-1,102-1, 3 知识篇 知识结构与拓展 高考使用 2019年10月 103-1,104-1,…,故an= 1 3 (10n-1)。 小结:解题时,需要注意以下几个特征: ①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化 特征;③拆项后的特征;④各项符号特征等, 并进行不完全归纳、联想、验证。 例2 (2019年洛阳联考)已知数列 an 的前n 项和为Sn,对任意n∈N*,Sn= (-1)nan+ 1 2n +n-3,且(t-an+1)(t-an)< 0恒成立,则实数t的取值范围是 。 分析:先利用通项公式的切入点an= S1(n=1), Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*) 来实现数列的通项 与前n项和的相互转化,从而求出an,再利 用不等式恒成立问题转化为求t的范围。 解:当n=1时,a1=S1=-a1+ 1 2+1- 3,解得a1=- 3 4 ;当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =(-1)nan+ 1 2n +n-3-(-1)n-1an-1- 1 2n-1 -(n-1)+3=(-1)nan-(-1)n-1an-1- 1 2n +1。 当n为偶数时,an-1= 1 2n -1,此时n-1 为奇数,所以当n 为奇数时,an= 1 2n+1 -1(n 为正奇数);当n为奇数时,an-1=3- 1 2n-1 ,此 时n-1为偶数,所以当n为偶数时,an=3- 1 2n (n为正偶数)。 所以当n为正奇数时,数列{an}为递减 数列,显然其最大值为a1=- 3 4 ;同理,当n 为正偶数时,数列{an}为递增数列,其最小值 为a2= 11 4 。若由(t-