02 数列创新题追溯根源-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

编者提醒:河南省平舆县第一高级中学是全国中学名校,本刊本期特约该校的多位一线名 师,详细 讲 解 三 角 函 数、平 面 向 量、数 列、不 等 式 专 题 的 考 点、题 型,精 心 命 制 核 心 考 点 演 练 试 卷,盼读者认真读一读,练一练,能收获满满哟! ■河南省平舆县第一高级中学 杨国松 近 几 年,为 了 考 查 同 学 们 在 新 的 问 题 情 景 下 知 识 的 迁 移、创 新 能 力,各 地 的 高 考 模 拟 题 和 高 考 试 题 中 出 现 了 不 受 大 纲 字 句 的 约 束,而 所 考 查 的 内 容 大 体 在 高 中 数 学 范 围 内 的 问 题,我 们 称 其 为 创 新 型 问 题。 创 新 型 试 题 编 制 的 情 景 新 颖,突 出 考 查 同 学 们 灵 活 运 用 所 学 知 识 的 能 力,全 面 考 查 数 学 知 识 的 掌 握 和 运 用 情 况,以 及 分 析 与 解 决 问 题 的 能 力 和 思 维 的 灵 活 性、深 刻 性、 技 巧 性 等,涉 及 的 数 学 思 想 方 法 有 从 一 般 到 特 殊 或 从 特 殊 到 一 般 的 思 想、函 数 与 方 程 的 思 想、探 索 性 思 想 等。 例1 定 义 首 项 为1且 公 比 为 正 数 的 等比数列为“M—数列”。 (1)已 知 等 比 数 列{an}(n∈N* )满 足: a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{an} 为“M—数列”。 (2)已知数列{bn}(n∈N*)满足:b1=1, 1 Sn = 2 bn - 2 bn+1 ,其 中 Sn 为 数 列{bn}的 前 n 项和。 ①求数列{bn}的通项公式; ②设 m 为 正 整 数,若 存 在“M—数 列” {cn}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m 时, 都有ck≤bk≤ck+1 成立,求 m 的最大值。 解析:(1)设 等 比 数 列{an}的 公 比 为q, 所以a1≠0,q≠0。 由 已 知 条 件 a2a4=a5, a3-4a2+4a1=0, 得 a21q4=a1q4, a1q2-4a1q+4a1=0, 解得 a1=1, q=2。 因此数列{an}为“M—数列”。 (2)①因为 1 Sn = 2 bn - 2 bn+1 ,所以bn ≠0。 由b1 =1,S1 =b1,得 1 1 = 2 1 - 2 b2 ,则 b2=2。 由 1 Sn = 2 bn - 2 bn+1 ,得Sn= bnbn+1 2(bn+1-bn) 。 当n≥2时,由bn =Sn -Sn-1,得bn = bnbn+1 2(bn+1-bn) - bn-1bn 2(bn-bn-1) ,整 理 得 bn+1 + bn-1=2bn。 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等 差数列。 因此,数 列 {bn}的 通 项 公 式 为 bn =n (n∈N*)。 ②由①知,bk=k,k∈N*。 因为数列{cn}为“M—数 列”,设 公 比 为 q,所以c1=1,q>0。 因为ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其 中k=1,2,3,…,m。 当k=1时,有q≥1; 当k=2,3,…,m 时,有 ln k k ≤ln q≤ ln k k-1 恒成立。 所以 ln k k max≤ln q≤ ln k k-1 min。 设f(x)= ln x x (x>1),则 f'(x)= 1-ln x x2 。 令f'(x)=0,得x=e。 6 解题篇 创新题追根溯源 高考使用 2019年10月 所以f'(x)、f(x)在x∈(1,+∞)上的 变化情况如表1所示。 表1 x (1,e) e (e,+∞) f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 因 为 ln 2 2 = ln 8 6 < ln 9 6 = ln 3 3 ,所 以 f(k)max=f(3)= ln 3 3 。 设g(x)= ln x x-1 (3≤x≤m),则g'(x)= 1- 1 x-ln x x2 。 令h(x)=1- 1 x -ln x,则 h'(x)= 1-x x2 。 因为3≤x≤m,所以h'(x)<0,故h(x) 在[3,m]上单调递减。 所以h(x)<h(3)=1- 1 3 -ln 3<0,所 以g(x)在[3,m]上单调递减。 因此g(x)min=g(m)= ln m m-1 ,所以ln m m-1 ≥ ln 3 3 ,化简得3ln m-(m-1)ln 3≤0。 令t(m)=3ln m-(m-1)ln 3,则t'(m) =