04 双勾函数与基本不等式-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

■北京八十中雄安校区 王立彬 我们已经学习了基本不等式,知道它的 适用范围和条件是“一正、二定、三相等”。但 在解决一些实际问题时,我们还需要认识基 本不等式与双勾函数f(x)=x+ a x (a>0) 之间的关系。 首先我们利用导数分析双勾函数的图 像,对函数f(x)=x+ a x (a>0)求导,得 f'(x)=1- a x2 (x≠0),令f'(x)>0,得x> a或x<- a,令f'(x)<0,得- a<x< 0或0<x< a,所以函数f(x)=x+ a x (a>0)在区间(-∞,a),(a,+∞)上单 调递增,在区间(- a,0),(0,a)上单调递 增,且当x=- a时函数取得极大值,当x= a时函数取得极小值。 例1 设函数f(x)=x+ ax+1(x>0)。 (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值; (2)当0<a<1时,求函数f(x)的最 小值。 解析:(1)把a=2代 入 f(x)=x+ a x+1 ,得f(x)=x+ 2 x+1= (x+1)+ 2 x+1 -1,因为x>0,所以x+1>0, 2 x+1>0 ,所 以(x+1)+ 2 x+1≥22 ,当且仅当x+1= 2 x+1 ,即x= 2-1时,f(x)取等号,此时 f(x)min=22-1。 (2)当0<a<1时,f(x)=x+1+ a x+1 -1,令t=x+1,得f(t)=t+ a t-1 (t≥1)。 前面我们已经分析了此函数为双勾函数的平 移函数,在区间[1,+∞)上单调递增,当t=1 时,函数f(t)=t+ a t -1 取得最小值,即 f(x)min=a。 总结:(1)若利用基本不等式解决最小值 问题,需要将函数配凑,并通过还原得到双勾 函数f(t)=t+ a t (a>0)的形式。然后利用 基本不等式的定积求和的形式求最小值,此 时要注明等号成立的条件。(2)在配凑以后, 如果用基本不等式x+1+ a x+1-1≥2 a- 1来解决,我们发现等号在x= a-1时成 立,不满足x>0的条件。利用已经分析的双 勾函数图像特点,我们可以清楚地发现问题 的原因,应用基本不等式解决函数f(t)= t+ a t (a>0)的最值,需要t= a在定义域 内,或者说,用基本不等式求得的最小值,是 双勾函数在区间(0,+∞)内的极值点。 例2 当 x> -1 时,求 f(x)= x2-3x+1 x+1 的最小值。 解析:整理f(x)= (x+1)2-5(x+1)+5 x+1 =(x+1)+ 5 x+1-5 ,因为x>-1,所以x+ 1>0,所以(x+1)+ 5 x+1≥25 ,当且仅当 x+1= 5 x+1 ,即x= 5-1时等号成立,此 时f(x)min=25-5。 31 解题篇 创新题追根溯源 高考使用 2019年10月 总结:解决此类函数问题经常要利用 拆项、添项、配凑、分离、减少变元等方法, 构造函数为f(t)=t+ a t (a>0)的形式来 解题,并且等号成立时要在定义域范围内 取到。 例3 求函数 f(x)= x 2+5 x2+4 的最 小值。 解析:f(x)= x2+5 x2+4 = x2+4+ 1 x2+4 ,令t= x2+4,得f(t)=t+ 1 t (t ≥2),对函数求导得f'(t)=1- 1 t2 ,当t≥2 时,f'(t)≥0恒成立。所以函数f(t)=t+ 1 t 在区间[2,+∞)上单调递增,当t=2时, 函数f(t)=t+ 1 t 取得最小值,所以f(x)min = 5 2 。 总结:通过构造函数f(t)=t+ 1 t (t≥2) 后,我们分析题中的条件为t≥2,等号成立的 条件t=1不在定义域范围内,所以我们需要 另辟蹊径通过函数求导的方法,利用函数的 单调性来解决问题。 例4 求函数f(x)= xx2+2x+4(x> 0)的最大值。 解 析:整 理 f (x)= x x2+2x+4 = 1 x+ 4 x+2 ,因为x>0,所以x+ 4 x≥4 ,当且 仅当x=2时等号成立,所以f(x)≤ 1 6 ,即 f(x)max= 1 6 。 总结:有一部分同学经常会把例4这种 题型,和分离变量的问题弄混,本题中的原函 数的分子幂次低于分母幂次,所以同时除以 分子,此时分子为常数,分母构造为对勾函数 的形式。为了方便理解,我们举例f(x)= x+1 x2+3x+6 (x> -1),整 理 为 f(x)= x+1 (x+1)2+(x+1)+4 ,分子、分母同除以x+ 1得f(x)= 1 x+1+ 4 x+1+1 ,分母可构造为 双勾函数。 例5 求函数f(x)=2+3x+4x(x< 0)的最大值。 解析:因 为 x<0,所 以-x>0,所 以 (-3x)+ 4 (-x)≥4 3 ,当