05 例析极化恒等式在解题中的妙用-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

■湖北省襄阳市第一中学 王 勇(特级教师、正高级教师) 极化恒等式:对于平面向量a,b,通过恒 等变形可得a·b= 1 4 (a+b)2-(a-b)2 。 图1 再经过几何延伸,如图1所示, 在△ABC 中,若 设 AB→=a, AC→=b,M 是BC 的中点,则 AB→·AC→=AM→2-14BC →2= |AM→|2-14|BC →|2。由此可知极化恒等式可 将平面向量的数量积关系转化为两个平面向 量的长度关系,使不可度量的向量数量积关 系转化为可度量、可计算的数量关系,其意义 非同凡响。下面举例说明极化恒等式在解题 中的 妙 用,旨 在 探 索 题 型 规 律,揭 示 解 题 方法。 一、解决平面向量的数量积问题 1.巧求数量积的值。 例1 (2018年黄冈市模拟题)已知过 点A(0,1),且斜率为k 的直线l与圆C:(x -2)2+(y-3)2=1相交于 M,N 两点,则 AM→·AN→= 。 图2 解析:如图2所示,取 MN 的中点G,连接CG,CM,CA,则 CG⊥MN。 由极化恒等式,得AM→·AN→ =AG2→-MG2→=(AC2→-CG2→)- (MC2→-CG2→)=AC→2-MC→2= AC→2-1=8-1=7。 点评:本题 A,M,N 三点共线,极化恒 等式仍适用。借助垂径定理、勾股定理及两 点间的距离公式即可得解。 2.界定数量积的取值范围。 例2 (2018年湖北省八校联考题)已 知AB 是半圆O 的直径,AB=2,等边三角形 OCD 的顶点C、D 在半圆弧AB︵ 上,且CD∥ AB,P 是半圆弧AB︵ 上的动点,则PC→·PD→ 的取值范围是( )。 A.32- 3 ,3 2 B.32 ,3 2+ 3 C.3 2- 3 2 ,3 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 D.32- 3 ,3 2+ 3 图3 解析:如图3,取线段CD 的中点 M,连接 PM。由极 化恒 等 式,得 PC→·PD→= |PM→|2-|MC→|2,注 意 到, AB 是半圆O 的直径,AB= 2,△OCD 是等边三角形,OC=OD=CD= 1,所以|MC→|2=14,所以PC →·PD→=|PM→|2 - 1 4 。 如图3,连接 OM 并延长交半圆弧AB︵ 于N,连接BM,易知|MN|=1- 3 2 ,|BM| = OM2+OB2= 7 2 。 因为P 是半圆弧AB︵ 上的动点,当点P 运动到N 点时,线段PM 的长度最小,其最 小值等于线段 MN 的长度;当点P 运动到B 点时,线段PM 的长度最大,其最大值等于线 段BM 的长度。 所以|MN|≤|PM→|≤|BM|,即1- 32 ≤|PM→|≤ 72,所以 3 2- 3≤|PM →|2-14≤ 3 2 ,所 以 PC→ · PD→ 的 取 值 范 围 是 51 解题篇 创新题追根溯源 高考使用 2019年10月 3 2- 3 ,3 2 。故选A。 点评:本题利用极化恒等式得出 PC→· PD→=|PM→|2-14后,问题转化为求|PM →|的 取值范围,而求|PM→|的取值范围对考生的 探究能力要求较高。 3.探求数量积的最值。 图4 例3 (2018年宜昌市调考 题)如图4,在半径为1的扇形 AOB 中,∠AOB=60°,C 为弧 AB︵ 上的动点,弦AB 与半径OC 交于点P,则 OP→·BP→ 的最小 值为 。 图5 解析:如图5,取OB 的中点 M,连接PM。 由极化恒等式,得OP→·BP→ =PO→·PB→=|PM→|2-|MB→|2 =|PM→|2-14。 当点C 在弧AB︵ 上运动时,点 P 在弦 AB 上运动,过点 M 作 MD⊥AB 于D,则 |PM→|min=|MD|。 在△AOB 中,∠AOB=60°,OA=OB= 1,且 M 为线段OB 的中点,易知|MD|= 3 4 。 所以(OP→·BP→)min= 3 4 2 - 1 4=- 1 16 。 点评:本题利用极化恒等式得出 OP→· BP→=|PM→|2-14后,问题转化为求|PM →|的 最小值,而求|PM→|的最小值需用到垂线段 最短及解直角三角形,有一定的综合性。 二、解决平面向量模的问题 例4 (2018年浙江省五校联考题)平 面向量a,b 满足:a·b=4,|a-b|=3,则 |a|的最大值是 。 图6 解析:如图6,令a=OA→,b =OB→,线段 AB 的中点是 M, 由|a-b|=3得|AB→|=3。 由极化恒等式,得a·b= |OM→|2-14|AB →|2=|OM→|2-94=4,解得 |OM→|=52。 此时|a|=|OA→|=|OM→+MA→|≤|OM→| +|MA→|=52+ 3 2=4