06 例说构造法-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

■甘肃省酒泉市肃州中学 张登虎 在数学解题的方法中,有一种叫构造法。 所谓构造法就是为了解决当前的问题,从问题 的结构特点出发,运用类比、联想的思维方式和 手段,使思维得到迁移,“无中生有”地创造出另 一个模型,利用该模型使原问题得以巧妙解决 的一种方法。由于此方法对于培养同学们的类 比思维、联想思维、创新思维有独特的功效,并 且可使解题巧妙简明,理应引起我们的高度重 视。构造法渗透在教材中,散见于各类资料中, 我们应旗帜鲜明地“叫响”构造法,不必羞羞答 答,遮遮掩掩。下面示范几例,说明方法,以诱 导同学们迸发出创新思维的火花。 一、构造函数 例1 证明:当x∈ 0,π2 时,sin x< x<tan x。 证明:先证sin x<x。构造函数f(x)= x-sin x,x∈ 0, π 2 ,导函数f'(x)=1- cos x>0成立,故函数f(x)在 0, π 2 上为 增函数,又f(0)=0,所以f(x)>0成立,即 sin x<x。 再证x<tan x。构造函数g(x)=tan x -x,x∈ 0, π 2 ,导函数g'(x)= 1cos2x-1 >0成立,故函数g(x)在 0, π 2 上为增函 数,又g(0)=0,所以g(x)>0成立,即x< tan x。 综上所述,当x∈ 0, π 2 时,sin x<x< tan x 成立。 本题还可以构造单位圆来巧妙获证。 二、构造方程 例2 求证(a1a2+b1b2)2≤(a21+b21)· (a22+b22)。 证明:由此式的结构可联想判别式Δ= [2(a1a2+b1b2)]2-4(a21+b21)(a22+b22),由 此尝试构造下列一元二次方程,(a21+b21)x2 +2(a1a2+b1b2)x+(a22+b22)=0,即(a21x2 +2a1a2x+a22)+(b21x2+2b1b2x+b22)=0, 亦即(a1x+a2)2+(b1x+b2)2=0。显然此 方程无实根或恰有两相等实根,故应有Δ≥ 0。从而证明原式成立。 此题用构造向量的方法也十分简洁,请 同学们自己动手试一试。 三、构造数列 例3 已知数列{an}满足:a1=1,an+1 =2an+1,求an。 解析:联想等比数列,试图构造一个新的 等比数列{an+λ},通过研究新数列,进而求 出结果。设an+1+λ=2(an+λ),即an+1= 2an+λ,与 已 知 条 件 比 较,得λ=1,所 以 an+1+1 an+1 =2,所以数列{an+1}是首项为a1+ 1=2,公比为2的等比数列。所以an+1= 2×2n-1=2n,所以an=2n-1。 四、构造向量 例4 证明不等式a2+b2+c2≥ab+bc +ca,a,b,c∈R。 证明:由左端a2+b2+c2 联想向量的求 模公式,由右端ab+bc+ca联想向量的数量 积。设m=(a,b,c),n=(b,c,a),由|m||n| ≥m·n可证得。 五、构造四边形 例5 在平面直角坐标系中,x 轴的正 半轴上有3个不同点,y 轴的正半轴上有4 个不同点,所有这些点连成的直线在第一象 限内最多有 个交点。 71 解题篇 创新题追根溯源 高考使用 2019年10月 $$