08 三角函数与平面向量中的易错题归类剖析-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

三角函数与平面向量中的易错题归类剖析 ■河南省平舆县第一高级中学 晁明月 数学中的隐含条件往往最容易被忽视, 这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”,解 题过程中一不小心就会掉进去。本文列举出 了三角函数、平面向量中的易错点,希望同学 们在今后的学习中能引以为戒。 一、忽视函数的定义域对角范围的制约 致错 注意定义域对角范围的制约,有些三角 函数的定义域,因其相对隐蔽,解题时往往被 忽略考虑,造成错解。 例1 求函数f(x)= sin xcos x 1+sin x+cos x 的递增区间。 错解:设t=sin x+cos x,则sin xcos x = t2-1 2 ,于 是 f(x)= t2-1 2(1+t)= t-1 2 = sin x+cos x-1 2 = 2 2sinx+ π 4 -12。由 2kπ- π 2≤x+ π 4≤2kπ+ π 2 ,解得函数f(x) 的递增区间为 2kπ- 3π 4 ,2kπ+ π 4 (k∈Z)。 剖析:上述解法忽略了函数的定义域。因 为题目中分母不能为零,即1+sin x+cos x≠ 0⇒2sinx+ π 4 ≠-1⇒x≠2kπ-π2且x≠ 2kπ-π。所 以 函 数 f(x)的 递 增 区 间 为 2kπ- 3π 4 ,2kπ- π 2 及 2kπ-π2,2kπ+π4 (k ∈Z)。 二、忽视三角函数值对角范围的制约 致错 三角求值或求角的大小时,不仅要注意 有关角的范围,还要结合有关角的三角函数 值把角的范围缩小到尽可能小的范围内,不 然容易出错。 例2 已知α、β 为锐角,cos α= 1 7 , sin(α+β)= 53 14 ,求β。 错解:由α、β为锐角,知0<α+β<π,所 以cos(α+β)=± 11 14 。 又cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)· cos α+sin(α+β)sinα= 71 98 或cos β= 1 2 ,得 β=arccos 71 98 或β= π 3 。 剖析:在上面的解法中,未能就题设条件 进一步缩小α+β的范围,引起增解。我们可 以作如下进一步分析:因为sin(α+β)= 53 14 < 3 2 ,且0<α+β<π,所以0<α+β< π 3 或 2π 3<α+β<π 。又cos α= 1 7< 1 2 ,得π 3<α< π 2 ,从而2π 3<α+β<π ,于是cos(α+β)= - 11 14 ,故cos β= 1 2 ,即β= π 3 。 三、忽视三角形的边角关系对角范围的 制约致错 解与三角形有关的三角问题时,必须注 意三角形中的边角等量关系、边角的不等关 系及内角和关系等对角范围的制约,以免产 生增解。 例3 已知A、B、C 为△ABC 的内角, 且cos A= 3 5 ,sin B= 5 13 ,求cos C 的值。 错解:由cos A= 3 5 ,得 A∈ 0, π 2 ,故 sin A= 4 5 。又sin B= 5 13 ,且B∈(0,π),所以 cos B=± 12 13 。从而cos C=-cos(A+B)= -cos Acos B+sin Asin B=- 16 65 或cos C= 56 65 。 剖析:若 B ∈ π2 ,π ,则 π-B ∈ 0, π 2 。由sin(π-B)=sin B= 5 13< 4 5= sin A,得π-B<A,即A+B>π,与A+B 12 解题篇 易错题归类剖析 高考使用 2019年10月 <π矛盾,故角B 为锐角。从而cos B= 12 13 , 故cos C=- 16 65 。 四、忽视变形式子对角范围的制约致错 在三角变形过程中,有时要利用变形后 的式子来进一步缩小角的范围,这样才能得 出正确的结果。 例4 已 知 0<α<β<γ<2π,且 cos α+cos β+cos γ=0, sin α+sin β+sin γ=0, 求α-β的值。 错解:由 已 知 等 式 得cos α+cos β= -cos γ; ① sin α+sin β=-sin γ。 ② ①2+②2 得2+2cos(α-β)=1,即cos(α -β)= 1 2 。 因为0<α<β<2π,所以-2π<α-β< 0,所以α-β=- 2π 3 或α-β=- 4π 3 。 剖析:上述解错在于没有利用题设条件 进一步缩小α-β的范围,从而产生了增根。 事实上,同理可得cos(α-γ)=- 1 2 , cos(γ-β)=- 1 2 。 ③ 又0<α<β<γ<2