10 《递推数列》六类经典题型突破方法-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

《递推数列》六类经典题型突破方法 ■河南省平舆县第一高级中学 何中义 类型一：an+1=an+f(n) 突破方法:把原递推公式转化为an+1- an=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。 例1 在数列{an}中,a1=-1,an+1= an+2n,求an。 解析:因为an+1=an+2n,当n≥2时: a2-a1=2×1, a3-a2=2×2, a4-a3=2×3, …… an-an-1=2×(n-1)。 将上面n-1个式子相加得到: an-a1=2×[1+2+3+…+(n-1)]= 2× (n-1)[1+(n-1)] 2 =n (n-1)。 所以an=a1+n2-n=n2-n-1(n≥2)。 当n=1时,a1=-1=12-1-1,符合上 式,故an=n2-n-1(n∈N*)。 总结升华: 1.在数列{an}中,an+1-an=f(n),若 f(n)为常数,则数列{an}是等差数列;若 f(n)不是一个常数,而是关于n 的式子,则 数列{an}不是等差数列。 2.当数列的递推公式是形如an+1=an+ f(n)的解析式,而f(1)+f(2)+…+f(n) 的和是可求的时候,则可用多式累(迭)加法 求得an。 类型二：an+1=pan+q（其中p，q 均 为常数，pq(p-1)≠0） 突破方法:把原递推公式转化为an+1- t=p(an-t),其中t= q 1-p ,再利用换元法 转化为等比数列进行求解。 例2 已知数列{an}中,a1=1,an+1= 2 3an+1 ,求an。 解法一:设an+1+A= 2 3 (an+A),解得 A= -3,所 以 原 式 可 转 化 为 an+1-3= 2 3 (an-3)。 设bn=an-3,则数列{bn}为等比数列, 且b1=a1-3=-2,q= 2 3 。 所以bn=an-3=(-2)× 2 3 n-1 ⇒ an=3-3× 2 3 n 。 解法二:因为an+1- 2 3an=1 , ① 所以an- 2 3an-1=1 (n≥2)。 ② 由①-②得an+1-an= 2 3 (an-an-1)。 设bn=an+1-an,则数列{bn}为等比数列。 所以bn=an+1-an= 2 3× 2 3 n-1 = 23 n 。 所以an+1-an= 2 3an+1-an= 2 3 n 。 所以an=3-3× 2 3 n 。 解法三:a2= 2 3a1+1 ,a3= 2 3a2+1= 2 3 2 + 2 3+1 ,a4= 2 3a3+1= 2 3 3 + 23 2 + 2 3+1 ,…,an= 2 3an-1+1= 2 3 n-1 +…+ 2 3+1 ,所以an=3-3× 2 3 n 。 总结升华: 1.一般地,对已知数列{an}的项满足 a1=a,an+1=can+d(c,d 为常数,c≠0,1),则 可设an+1+t=c(an+t),得an+1=can+ct-t, 利用已知得ct-t=d,即t= d c-1 ,从而将求数 列{an}的通项转化为求等比数列{an-t}的通 项。第二种方法利用了递推关系式作差,构造 新的等比数列。这两种方法均是常用的方法。 2.若数列有形如an+1=k·an+b(k、b 为常数)的线性递推关系,则可用待定系数法 52 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2019年10月 求得an。 类型三：递推公式为an+2=pan+1+qan （其中p，q均为常数） 突破方法一(待定系数法):先把原递推 公式转化为an+2-san+1=t(an+1-san),其中 s,t满足 s+t=p, st=-q。 突破方法二(特征根法):对于由递推公 式an+2=pan+1+qan,a1=α,a2=β给出的数 列{an},方程x2-px-q=0叫作数列{an} 的特征方程。若x1,x2 是特征方程的两个 根,当x1≠x2 时,数列{an}的通项为an= Axn-11 +Bxn-12 ,其中A,B 由a1=α,a2=β决 定(即把a1,a2,x1,x2 和n=1,2,代入an= Axn-11 +Bxn-12 ,得到关于A、B 的方程组);当 x1=x2 时,数列{an}的通项为an=(A+Bn)· xn-11 ,其中A,B 由a1=α,a2=β决定(即把a1, a2,x1,x2 和n=1,2,代入an=(A+Bn)· xn-11 ,得到关于A、B 的方程组)。 例3 已知数列{an}中,a1=1,a2=2, an+2= 2 3an+1+ 1 3an ,求an。 解析:由an+2= 2 3an+1+ 1 3an 可转化为 an+2-san+1=t(an+1-san),即an+2=(s+t)· an+1