12 赏析2019年高考解三角形经典问题-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省江都中学 俞 新 2019年高考解三角形主要围绕“三角形 中的隐含条件、正余弦定理、三角形的面积公 式、三角变换、三角形中的最值与范围”等热 点问题 展 开 的,凸 显 目 标 意 识 下 的“等 价 转 化”思想的具体应用。 一、利用三角形中的隐含条件和正弦定 理求解三角形 例1 (2019年 高 考 全 国 Ⅱ 卷 文 15) △ABC 的内角 A,B,C 的 对 边 分 别 为a,b, c。已知bsin A+acos B=0,则B= 。 解析:边角满足齐次式,根据正弦定理把 边化为角,利用辅助角公式化为一个角 的 三 角函数,结合角的隐含条件 定 角。由 正 弦 定 理,得sin Bsin A+sin Acos B=0。因为 A ∈(0,π),B∈(0,π),所以sin A≠0,得sin B +cos B=0,所以tan B=-1,所以 B= 3π 4 。 故选D。 品 味:在 △ABC 中, a sin A = b sin B = c sin C =2R(R 为△ABC 外 接 圆 半 径),已 知 两边和一角或已知两角和一边,利用正 弦 定 理可以求出其他的边和角。如果遇到等式中 含有角的正弦或边的一次式或二次时,用 正 弦定 理“边 化 角 化 为 一 个 角 的 三 角 函 数 求 解”;注意 A+B+C=π这个隐含条件,用诱 导公式可以降元或变名称。 二、利用 三 角 变 换 和 余 弦 定 理 求 解 三 角形 例2 (2019年 高 考 北 京 卷 文 15)在 △ABC 中,a=3,b-c=2,cos B=- 1 2 。 (1)求b,c 的值; (2)求sin(B+C)的值。 解析:(1)借助余弦定理构建方程代入已 知条件求b,c 的值。由余弦定理可得cos B = a2+c2-b2 2ac =- 1 2 ,因为a=3,代入化简整 理得c2-b2+3c+9=0。因为b-c=2,所以 b=c+2,代入解得 b=7, c=5。 (2)注意内角和这个隐含条件,借助余弦 定理求解。由(1)知a=3,b=7,c=5,所 以 cos A= b2+c2-a2 2bc = 13 14 。因为 A 为△ABC 的内角,所以sin A= 1-cos2A = 33 14 。所 以sin(B+C)=sin(π-A)=sin A= 33 14 。 品味:三角形中 的 三 角 变 换 主 要 涉 及 和 差角公式、诱导公式和同角关系的应用等,关 键在于合理选择正余弦定理变角化统一。已 知 三 边 (即 SSS)或 两 边 及 一 角 (即 SAS、 SSA)时常使用余弦定理,其中已知SAS时, 直接使用余 弦 定 理;已 知 SSA 时,既 可 用 正 弦定理,也可用余弦定理。如 果 式 子 中 含 有 角的余弦或边的二次齐次式时,常常借 助 三 角形面积和余弦定理沟通a+c、ac、a2+c2、b 之间的关系。 三、正余弦定理联合使用求解三角形 例3 (2019 年 高 考 江 苏 卷 15)在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c。 (1)若 a=3c,b= 2,cos B= 2 3 ,求c 的值; (2)若 sin A a = cos B 2b ,求 sinB+ π 2 的值。 13 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2019年10月 解析:(1)利用余弦定理构建关于c 的方 程求根。因为a=3c,b= 2,cos B= 2 3 ,由 余 弦 定 理 cos B = a2+c2-b2 2ac ,得 2 3 = (3c)2+c2-(2)2 2×3c×c ,即c2= 1 3 ,所以c= 3 3 。 (2)结合正弦定理和同角三角关系 求 得 cos B,再利 用 诱 导 公 式 求 解。因 为 sin A a = cos B 2b ,由正弦定理 a sin A = b sin B ,得cos B 2b = sin B b ,所 以cos B=2sin B。从 而cos2B= (2sin B)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B = 4 5 。因为sin B>0,所以cos B=2sin B> 0,从 而 cos B = 25 5 。因 此sinB+ π 2 = cos B= 25 5 。 品味:有关解三角形的问题,涉及正余弦 定理、同角三角函数关系式、诱导公式等的灵 活应用,在解题的过程中,要时刻关注题设条 件和目标意识,合理寻求简捷的途径,如(2) 中由cos B=2sin B 可求