13 2019年高考中的“三角函数和三角变换”-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

■江苏省沭阳如东中学 彭 菡 2019年 高 考 三 角 函 数 和 三 角 变 换 主 要 围绕“三角函数定义、三角公式求值、方程组 观念的应用、三角函数图像性质、三角函数区 间上的零点和值域”等问题展开的,彰显“整 体变量观念、转化化归和数形结合”素养的具 体应用。 题型一——三角函数定义、同角关系诱 导公式及和差角公式 例1 (2019年 高 考 江 苏 卷 13)已 知 tan α tanα+ π 4 =- 2 3 ,则sin2α+ π 4 的 值 是 。 解析:由题意首先求得tan α 的值,然后 利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原 问题转化为齐次式求值的问题,最后切 化 弦 求得三角函数式的值即可。由 tan α tanα+ π 4 = tan α tan α+1 1-tan α =- 2 3 ,得3tan2α-5tan α-2=0, 解得tan α=2,或tan α=- 1 3 。 sin2α+ π 4 =sin 2αcos π 4 +cos 2αsin π 4 = 2 2 (sin 2α+cos 2α) = 2 2 2sin αcos α+cos2α-sin2α sin2α+cos2α = 2 2 2tan α+1-tan2α tan α+1 。 当 tan α = 2 时, 上 式 = 2 2 2×2+1-22 22+1 = 210; 当 tan α = - 1 3 时,上 式 = 2 2 · 2× - 1 3 +1- -13 2 - 1 3 2 +1 = 210。 综上,sin2α+ π 4 = 210。 点睛:本题考查三角函数的化简求值,渗 透了逻 辑 推 理 和 数 学 运 算 素 养。采 取 转 化 法,利用分类讨论和转化与化归思想解题。 题型 二——二 倍 角 公 式 及 方 程 组 观 念 求值 例2 (2019年高考全国Ⅱ卷文11理 10)已知α∈ 0, π 2 ,2sin 2α=cos 2α+1,则 sin α=( )。 A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 25 5 解析:利用二倍角公式得到正余弦关系, 利用角的范围及正余弦平方和为1的关系求 得答 案。因 为 2sin 2α=cos 2α+1,所 以 4sin α·cos α=2cos2α。因为α∈ 0, π 2 ,所 以cos α>0,sin α>0,所 以2sin α=cos α。 又sin2α+cos2α=1,所以5sin2α=1,sin2α= 1 5 。又sin α>0,所以sin α= 5 5 。故选B。 点睛:本题为三角函数中二倍角公式、同 角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判 断正余弦的正负及运算的准确性是关 键,题 目不难,需细心,解决三角函 数 问 题,研 究 角 的范围后得出三角函数值的正负,很关键,切 33 解题篇 经典题突破方法 高考使用 2019年10月 记不能凭感觉。 题 型 三——经 过 三 角 变 化 探 究 y = Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B 的 性质 例3 (2019年 高 考 全 国Ⅲ卷 文5)函 数f(x)=2sin x-sin 2x 在[0,2π]上 的 零 点个数为( )。 A.2 B.3 C.4 D.5 解析:令f(x)=0,得sin x=0或cos x =1,再根据x 的取值范围可求得零点。 由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x- 2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,得sin x =0或cos x=1。因为x∈[0,2π],所以x= 0或π或2π。所以f(x)在[0,2π]上的零点 个数是3。故选B。 点睛:本题考查 在 一 定 范 围 内 的 函 数 的 零点个数,渗透了直观想象和数学运算素养。 采 取 特 殊 值 法,利 用 数 形 结 合 和 方 程 思 想 解题。 题型四——经过图像变换探究函数解析 式求值 例4 (2019年 高 考 天 津 卷 文7)已 知 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ| <π)是奇函数,且 f(x)的最小正周期为π, 将y=f(x)的 图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应 的函数为g(x)。若g π 4 = 2,则f 3π8 = ( )。 A.-2 B.- 2 C.2 D.2 解析:只 需 根 据 函 数