16 三角函数及解三角形核心考点测试卷A-2019年10月刊高考数学《中学生数理化》

一、选择题 1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10.D 11.D 12.B 二、填空题 13.- 1 7 14. 15 3 15.[2-1,1] 16.4 三、解答题 17.解法一:(1)由 m⊥n 得2cos α- sin α=0,sin α=2cos α,代入cos2α+sin2α= 1,得5cos2α=1,且α∈ 0, π 2 。 所以cos α= 5 5 ,sin α= 25 5 。 所以cos 2α=2cos2α-1=2× 5 5 2 - 1=- 3 5 。 (2)由α∈ 0, π 2 ,β∈ 0,π2 ,得α-β∈ - π 2 ,π 2 。 因sin(α-β)= 10 10 ,则cos(α-β)= 3 10 10 。 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α -β)-cos αsin(α-β)= 25 5 × 3 10 10 - 5 5× 10 10 = 2 2 。 因β∈ 0, π 2 ,则β=π4。 解法二:(1)由m⊥n 得2cos α-sin α= 0,tan α=2,故 cos 2α=cos2α-sin2α= cos2α-sin2α cos2α+sin2α = 1-tan2α 1+tan2α = 1-4 1+4=- 3 5 。 (2)由(1)知2cos α-sin α=0,且cos2α +sin2α=1,α∈ 0, π 2 ,所以sin α= 25 5 , cos α= 5 5 。 由α∈ 0, π 2 ,β∈ 0,π2 ,得α-β∈ - π 2 ,π 2 。 因sin(α-β)= 10 10 ,则cos(α-β)= 3 10 10 。 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α -β)-cos αsin(α-β)= 25 5 × 3 10 10 - 5 5× 10 10 = 2 2 。 因β∈ 0, π 2 ,则β=π4。 18.(1)因为 A,B,C 为三角形的内角, 所以A+B+C=π。 因为4sin2 A+B 2 -cos 2C= 7 2 ,结合三 角形中角的大小关系,得4cos2 C 2-cos 2C= 7 2 。 所以4· 1+cos C 2 - (2cos2C-1)= 7 2 , 即2cos2C-2cos C+ 1 2=0 ,所以cos C= 1 2 。 54 核心考点AB卷参考答案 高考使用 2019年10月 又因为0<C<π,所以C= π 3 。 (2)由(1)得 A+B= 2π 3 ,所以sin A+ sin B =sin A +sin 2π3-A =sin A + sin 2π 3 ·cos A-cos 2π 3 ·sin A= 3 2sin A+ 3 2cos A= 3sinA+ π 6 。 因为0<A< 2π 3 ,所以π 6<A+ π 6< 5π 6 。 所以当A+ π 6= π 2 ,即 A= π 3 时,sin A +sin B 取得最大值为 3。 图1 19.以 O 为原点,以 OA→ 为x 轴正方向,建立如图1所 示的平面直角坐标系。 (1)设 D(t,0)(0≤t≤ 1),C - 2 2 ,2 2 。 所以OC→+OD→= - 22+t, 2 2 。 所以|OC→+OD→|2=12- 2t+t 2+ 1 2= t2- 2t+1=t- 2 2 2 + 1 2 (0≤t≤1)。 故当t= 2 2 时,|OC→+OD→|取得最小值, 最小值为 2 2 。 (2)设OC→=(cos α,sin α),0≤α≤ 3π 2 , E 0,- 1 2 ,则CE→=OE→-OC→= 0,-12 - (cos α,sin α)= -cos α,- 1 2-sin α 。 因 为 D 12 ,0 , 所 以 DE→ = - 1 2 ,- 1 2 ,所 以 CE→ · DE→ = 12 · cos α+ 1 2+sin α = 22sinα+π4 +14。 因为0≤α≤ 3π 2 ,所以π 4≤α+ π 4≤ 7π 4 ,所 以sinα+ π 4 ∈[-1,1],则 22sinα+π4 + 1 4∈ 1 4- 2 2 ,1 4+ 2 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。 所 以 CE→ · DE→ 的 取 值 范 围 是 1 4- 2 2 ,1 4+ 2 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。 20.(1)由已知条件知,当