内容正文:
(2)由正弦定理得
b
sin
B=
c
sin
C=
a
sin
A
=
23
sin
2π
3
=4。
又因为B+C=π-A=
π
3
,所以b+c=
4sin
B+4sin
C=4sin
B+4sin
π
3-B =
4 1
2sin
B+
3
2cos
B =4sin B+π3 。
因为0<B<
π
3
,则π
3<B+
π
3<
2π
3
,则
3
2<sinB+
π
3 ≤1,即b+c的取值范围是
(23,4]。
22.由 和 差 公 式 可 知 sin
αsin β2 =
-
1
2 cosα+
β
2 -cosα-β2 。
类似 地,sin(α+β)sin
β
2 = -
1
2
·
cosα+
3
2β -cosα+β2 ;
sin (α + 2β)sin
β
2 = -
1
2
·
cosα+
5
2β -cosα+32β ;
……
sin(α + nβ)sin
β
2 = -
1
2
·
cosα+
2n+1
2 β -cosα+2n-12 β 。
各项相加得,sinβ2
[sinα+sin(α+β)+
sin(α+2β)+…+sin(α+nβ)]
=-
1
2 cosα+
2n+1
2 β -cosα-β2
=sinα+
n
2β sinn+12 β。
所以sinα+sin(α+β)+…+sin(α+nβ)
=
sinα+
n
2β sinn+12β
sinβ2
。(责任编辑 王福华)
一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.B 5.A 6.D
7.C 8.B 9.D 10.C 11.C 12.A
二、填空题
13.0 14.284
15.①③④⑤ 16.[-11,-9]
三、解答题
17.(1)因为|a-b|=
25
5
,所以a2-2a·
b+b2=
4
5
,将向量a=(cos
α,sin
α),b=
(cos
β,sin
β)代入上式得12-2(cos
αcos
β+
sin
αsin
β)+12=
4
5
,化简得2-2cos(α-β)
=
4
5
,所以cos(α-β)=
3
5
。
(2)因为-
π
2<β<0<α<
π
2
,所以0<
α-β<π,由cos(α-β)=
3
5
,可得sin(α-β)
=
4
5
。由sin
β=-
5
13
,可得cos
β=
12
13
,所以
74
核心考点AB卷参考答案
高考使用 2019年10月
sin
α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos
β+
cos(α-β)sin
β=
4
5×
12
13+
3
5× -
5
13 =
33
65
。
18.(1)f(x)=a·b=m(1+sin
x)+
cos
x,由 f
π
2 =2,得 m 1+sinπ2 +
cos
π
2=2
,解得m=1。
(2)由(1)得f(x)=sin
x+cos
x+1=
2sinx+
π
4 +1,当sinx+π4 =-1时,
f(x)的最小值为1- 2。
19.(1)因为tan
C=3 7,所以
sin
C
cos
C=
37。又因为sin2C+cos2C=1,解得cos
C
=±
1
8
。
因为tan
C>0,所以 C 是锐角,所以
cos
C=
1
8
。
(2)因为CB→·CA→=52,所以abcos
C=
5
2
,所以ab=20。
又因为a+b=9,所以a2+2ab+b2=
81,所以a2+b2=41,所以c2=a2+b2-
2abcos
C=36,所以c=6。
20.(1)因为f(x)=a·(a+b)=a·
a+a·b=sin2x+cos2x+sin
xcos
x+
cos2x=1+
1
2sin
2x+
1
2
(cos
2x+1)=
3
2+
2
2sin2x+
π
4 。
所以f(x)的最大值为
3
2+
2
2
,最小正
周期是
2π
2=π
。
(2)要使f(x)≥
3
2
成立,当且仅当3
2+
2
2sin2x+
π
4 ≥32,即sin2x+π4 ≥0⇔
2kπ≤2x+
π
4≤2kπ+π⇔kπ-
π
8≤x≤kπ+
3π
8
,k∈Z,即f(x)≥
3
2
成立的x 的取值集合
是 x|kπ-
π
8≤x≤kπ+
3π
8
,k∈Z 。
21.(1)因为cos
2C=1-2si