2019年10月31日 充要条件-学易试题君之每日一题君2019-2020学年上学期高二数学（文）人教版（选修1-1）

10月31日 充要条件 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★★☆☆ 已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为______________． 【参考答案】 【试题解析】因为是一元二次方程， 所以． 又另一方程为，且两方程都要有实根， 所以，解得． 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数， 所以，所以m为4的约数． 又，所以或． 当时，第一个方程的根为非整数； 而当时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根都是整数的充要条件是． 【解题必备】寻求的充要条件有两种方法： （1）从上述两方面入手，得到结论的一致性，即为充要条件； （2）将原命题等价转化，获得充要条件． 注意：证明是的充要条件，不仅要证必要性还要证充分性，缺一不可． 1．已知是实数，则“且”的充要条件为______________． 2．已知方程，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 3．已知，求证：的充要条件是． 1．【答案】且 【解析】因为，所以a，b同号， 又，所以且， 所以“且”的充要条件为且． 2．【答案】方程有两个大于1的实数根的充要条件为． 【解析】令， 如图，由函数的图象可知， 方程有两个大于1的实数根等价于，， 且，解得． 以上过程每一步都是等价的， 所以，使方程有两个大于1的实数根的充要条件为． 3．【答案】证明见解析． 【解析】（1）证明必要性： 因为，所以． 所以 ． （2）证明充分性： 因为， 即， 又，所以且． 因为， 所以，即． 综上可知，当时，的充要条件是． 1 $$