[]河南省洛阳市2020届高三上学期期中考试数学（理）试题（图片版）

$$ 洛阳市２０１９———２０２０学年高中三年级期中考试 数学试卷参考答案（理） 一、选择题 １—５ＢＡＤＣＡ　　６—１０ＡＤＡＢＣ　　１１—１２ＣＤ 二、填空题 １３． 槡２ ２　　１４．１１　　１５．－槡５，－ 槡 ２ ５ ５　　１６．槡２－１ 三、解答题 １７．解：（１）当ｎ≥２时，ａｎ ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ ＝（２ ｎ－１）－（２ｎ－１－１）＝２ｎ－１． ……２分 ｎ＝１时，ａ１ ＝２ １－１＝１，显然ａ１适合上式． ……３分 综上可得ａｎ ＝２ ｎ－１． ……４分 （２）由（１）知ａｎ ＝２ ｎ－１，代入ｂｎ＋１－２ｂｎ ＝８ａｎ得ｂｎ＋１－２ｂｎ ＝２ ｎ＋２， ……５分 即 ｂｎ＋１ ２ｎ＋１ － ｂｎ ２ｎ ＝２． ……６分 又 ｂ１ ２ ＝１， ……７分 所以数列｛ ｂｎ ２ｎ ｝是以首项为１，公差为２的等差数列． 所以 ｂｎ ２ｎ ＝１＋２（ｎ－１）＝２ｎ－１． ……８分 所以ｂｎ ＝（２ｎ－１）·２ ｎ ……９分 Ｔｎ ＝１×２ １＋３×２２＋５×２３＋… ＋（２ｎ－１）·２ｎ．　　① ① ×２得：２Ｔｎ ＝１×２ ２＋３×２３＋５×２４＋… ＋（２ｎ－１）·２ｎ＋１．　　② ② －①得：Ｔｎ ＝－２－２×２ ２－２×２３－… －２×２ｎ＋（２ｎ－１）·２ｎ＋１． Ｔｎ ＝－２－２× ２２（１－２ｎ－１） １－２ ＋（２ｎ－１）·２ ｎ＋１． Ｔｎ ＝（２ｎ－３）·２ ｎ＋１＋６． ……１２分 １８．解：（１）设ＢＤ＝ｘ，则ＢＣ＝２ｘ， 在△ＡＢＤ中由余弦定理得ｃｏｓ∠ＡＢＤ＝ＡＢ ２＋ＢＤ２－ＡＤ２ ２ＡＢ·ＢＤ ＝ ｘ２＋９－７ ２×３·ｘ ……２分 在△ＡＢＣ中由余弦定理得ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝ＡＢ ２＋ＢＣ２－ＡＣ２ ２ＡＢ·ＢＤ ＝ ４ｘ２＋９－１３ ２×３×２ｘ． 易知∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ所以ｘ ２＋９－７ ２×３·ｘ ＝ ４ｘ２＋９－１３ ２×３×２ｘ ……５分 解得ｘ＝２（－２舍去），所以ＢＣ＝４． ……６分 （２）由（１）可知ｃｏｓＢ＝１２，且Ｂ∈（０，π），所以ｓｉｎＢ＝ 槡３ ２， ……７分 高三数学答案（理）　第１页　（共４页）　（２０１９．１０） 所以△ＡＢＤ的面积Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２·ＡＢ·ＢＤ·ｓｉｎＢ＝ 槡３３ ２， ……９分 设△ＡＢＤ内切圆半径为ｒ，则Ｓ△ＡＢＤ ＝ １ ２（ＡＢ＋ＢＤ＋ＡＤ）·ｒ． ……１１分 ∴　ｒ＝ 槡３３ ５＋槡７ ＝ 槡５３－槡２１６ ． 即△ＡＢＤ内切圆半径为 槡５３－槡２１６ ． ……１２分 １９．解：（１）因为△ＰＡＣ为正三角形，Ｍ为棱ＰＡ的中点，则ＣＭ⊥ＰＡ， ……１分 又∵　平面ＰＡＢ⊥平面ＰＡＣ，平面ＰＡＢ∩平面ＰＡＣ＝ＰＡ， ∴　ＣＭ⊥平面ＰＡＢ，　　∴　ＣＭ⊥ＡＢ． ……２分 又ＣＡ⊥ＡＢ，且ＣＡ平面ＰＡＣ，ＣＭ平面ＰＡＣ，ＣＡ∩ＣＭ ＝Ｃ， ……３分 ∴　ＡＢ⊥平面ＰＡＣ． ……４分 （２）连接ＰＱ，ＭＱ，由题意及（１）得ＶＱ－ＢＭＣ ＝ＶＭ－ＢＱＣ ＝１２ＶＰ－ＢＱＣ ＝ １ ４ＶＰ－ＡＢＣ，Ｓ△ＱＢＣ ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＣ， ∴　Ｑ为线段ＡＢ的中点， ……５分 过点Ａ作平面ＡＢＣ的垂线ＡＨ，以Ａ为坐标原点，分别以 →ＡＢ，→ＡＣ，→ＡＨ为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴的正方向建立空间直角坐标 系．不妨设 ＡＣ＝２，ＢＣ＝４，则 Ｐ（０，１，槡３），Ａ（０，０，０），Ｃ（０，２，０），Ｑ（槡３，０，０）， Ｍ（０，１２， 槡３ ２）， →ＣＭ ＝（０，－３２， 槡３ ２）， →ＣＱ＝（槡３，－２，０）， ……７分 易知平面ＡＭＣ的一个法向量ｎ→ １ ＝（１，０，０）， ……８分 设平面ＱＭＣ的法向量为ｎ→ ２ ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， ∴　 ｎ → ２· →ＣＭ ＝０， ｎ→ ２· →ＣＱ＝０{ ，即 － ３ ２ｙ＋ 槡３ ２ｚ＝０， 槡３ｘ－２ｙ＝０ { ． 令ｙ＝槡３，则平面ＱＭＣ的一个法向量为ｎ → ２ ＝（２，槡３，３）． ……１０分 ∴　ｃｏｓ＜ｎ→ １，ｎ → ２ ＞＝ ｎ→ １·ｎ → ２ ｜ｎ→ １｜·｜ｎ → ２｜ ＝１２． ……１１分 故二面角Ｑ－ＭＣ－Ａ的大小为π３． ……１２分 ２０．（１）设椭圆的焦距为２ｃ，则 ｃａ＝ 槡６ ３，　① ……１分 又 ４ ａ２ ＋４ ｂ２ ＝１，　②　　　ａ２ ＝ｂ２＋ｃ２，　③ ……２分 由①，②，③解得：ａ２ ＝１６，ｂ２ ＝１６３， ……３分 高三数学答案（理）　第２页　（共４页）　（２０１９．１０） 椭圆Ｃ的方程是ｘ ２ １６＋ ｙ２ １６ ３ ＝１． ……４分 （２）当直线ＭＮ与ｘ轴不垂直时，设直线ＭＮ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１）－１，与椭圆 Ｃ的方程联立， ｘ２ １６＋ ｙ２ １６ ３ ＝１， ｙ＝ｋ（ｘ－１）