1.3 全称量词与存在量词（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§3　全称量词与存在量词 授课提示：对应学生用书第6页 一、全称量词、存在量词与全称命题、特称命题 二、特称命题的否定 特称命题：存在x0∈M，p(x0)成立，它的否定：任意x∈M，p(x)不成立，特称命题的否定是全称命题． 三、全称命题的否定 全称命题：任意x∈M，p(x)成立，它的否定：存在x0∈M，p(x0)不成立，全称命题的否定是特称命题． [疑难提示] 　省略量词的命题的否定 对含有量词的命题，容易知道它是全称命题还是特称命 题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“任意”，它的否定是特称命题． [想一想] 1．同一个全称命题或特称命题的表述是否唯一？ 提示：不唯一．对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可． [练一练] 2．下列命题中全称命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°. A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题． 答案：D 3．已知命题p：对任意x∈R，都有cos x≤1，则命题p的否定为(　　) A．存在x0∈R，使得cos x0≤1 B．对任意x∈R，都有cos x>1 C．存在x0∈R，使得cos x0>1 D．存在x0∈R，使得cos x0≥1 解析：根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C. 答案：C 授课提示：对应学生用书第6页 探究一　判断全称命题与特称命题及其真假 [典例1]　试判断以下命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假： (1)对任意的x∈R，x2＋2>0； (2)对任意的x∈N，x4≥1； (3)存在x∈Z，x3<1； (4)对任意的x∈R，x2－3x＋2＝0； (5)存在x∈R，x2＋1＝0. [解析]　(1)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．对任意的x∈R，x2≥0，所以x2＋2≥2，所以x2＋2>0，所以该命题是真命题． (2)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以该命题是假命题． (3)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1，所以该命题是真命题． (4)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为对于x∈R，只有当x＝2或x＝1时满足x2－3x＋2＝0，所以该命题为假命题． (5)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为不存在一个实数x，使x2＋1＝0成立，所以该命题为假命题． 1．要判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题的叙述中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． 3．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假． (1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0. (2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2. (3)存在两个相交平面垂直于同一条直线． (4)存在T0∈R，|sin(x＋T0)|＝|sin x|. 解析：(1)是全称命题． ∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)是全称命题． 存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题． (3)是特称命题． 由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的， ∴命题(3)是假命题． (4)是特称命题． y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(4)是真命题． 2．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)对任意x∈R，都有x2－x＋1>成立； (2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立； (3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N； (4)存在x，y∈Z，使x＋y＝3成立． 解析：(1)解法一　当x∈R时，x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞，所以该命题是真命题． 解法二　x2－x＋1>⇔x2－x＋>0，由于Δ＝1－4×＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>的解集是R，所以该命题是真命题．